最小二乘蒙地卡羅
你能用語言（沒有公式）向我解釋最小二乘蒙特卡羅方法對美式期權定價的概念嗎？
為了計算美式期權或一般可贖回工具的價格，在每個潛在的行權日期，需要將其持續價值（如果不行權，期權將得到回報的貼現風險中性預期）與相關行使價值/提前贖回價格。
通過構造，格和有限差分方法允許直接計算前連續值，因為它們通過反向歸納工作（從到期時的終止條件開始，向後工作直到初始計算風險中性預期）。然而，這些方法受到維度災難的困擾（計算負擔隨著基礎資產的數量而迅速增加）。
在光譜的另一端，標準蒙特卡羅方法本質上是向前的：一個模擬在風險中性度量下的基礎價格過程的實現，應用收益函式並採用這些路徑支付的貼現期望來獲得期權價格。通過構造，計算未來時間的延續值就不那麼簡單了。可以通過嵌套模擬來做到這一點，但這不切實際。
由 Longstaff 和 Schwartz 在一篇著名論文中首次提出的替代方案包括模擬路徑，然後及時向後工作，通過一組所謂的基函式上的最小二乘回歸來估計連續值。在每個時間步，通過將估計的持續值與行使值進行比較，然後重複操作來更新路徑的支出。當使用有限數量的模擬和基函式時，該方法有一些已知的偏差，但在其他情況下顯示收斂。
評論中詢問的有關回歸步驟的更多資訊。
在回歸問題中，您面對一個嘈雜的數據集，並問自己這個問題是什麼過程可以生成這些數據。以最簡單的形式，您可以將此數據生成過程視為一個黑匣子，其中包含一些輸入 $ x $ 並生成輸出 $ y = f(x) + \epsilon $ 在哪裡 $ \epsilon $ 是一個零均值雜訊項。你的目標是估計 $$ f(x) = \Bbb{E}\left[ y \vert x \right] $$
顯然有很多方法可以解決這個問題。最直覺的（判別建模）之一是假設參數形式 $ f(x) = \sum_{i=1}^N \alpha_i \phi_i(x) $ 你決定的地方 $ \phi_i(x) $ 自己（基函式），然後問題歸結為估計 $ \alpha_i $ 最適合數據的。這稱為判別建模（相對於生成建模）。
現在你可能會問自己這個問題，真正的 $ f(x) $ DGP 是 $ f(x) = sin(x) $ 我只選擇了一個基函式 $ \phi_1(x)=x $ . 當然，在那種情況下，我永遠不會有一個很好的估計 $ f(x) $ ：這就是選擇基函式很重要的原因：理想情況下，它們應該允許您表示廣泛的函式集（完整集的概念）。
這與手頭的問題有什麼關係？衍生品的價格為 $ t $ （您正在尋找的）是其折現值的預期 $ t+\delta $ 以您擁有的所有資訊為條件 $ t $ ，數學上： $$ V_t = \Bbb{E} \left[ P(t,t+\delta) V_{t+\delta} \vert \mathcal{F}_t \right] $$
這與上一個問題的形式相同：你觀察 $ P(t,t+\delta) V_{t+\delta} $ 有條件的 $ \mathcal{F}t $ （使用 MC 模擬）並且您正在尋找數據生成功能 $ V_t $ . 更具體地說，如果您假設“所有可用資訊”在 $ t $ 歸結為對目前現貨價格的了解 $ S_t $ 你會遇到以下問題 $$ V_t = f(S_t) = \Bbb{E} \left[ P(t,t+\delta) V{t+\delta} \vert S_t \right] $$ 如同 $$ f(x) = \Bbb{E} \left[ y \vert x \right] $$ 現在再次選擇代表所有可用資訊的事實 $ t $ ( $ \mathcal{F}_t $ ) 僅通過以下知識 $ S_t $ （所以基本上在選擇基函式之上選擇回歸器），在某些情況下可能是一個過於嚴格的假設。