本地波動率與隨機波動率期權定價
這是一個面試題：假設你有一個雙淘汰障礙選項：目前點為 100，下限為 80，上限為 120。障礙是連續的，意味著一旦點超出範圍80-120 在到期之前的任何時間，你什麼都沒有。如果在期權到期之前現貨一直保持在 80-120 範圍內，您將獲得固定金額 10 作為最終收益。問題是，如果你需要為這個期權定價，哪種波動率模型會給出更高的期權價格？本地成交量還是隨機成交量？為什麼？面試官說是 Stoch vol 給出了更高的期權價格，但我沒明白原因。有誰知道為什麼？
為簡化起見，讓我們首先考慮單觸選項（如果觸碰障礙物則支付現金），而不是問題的雙重不觸選項。此外，讓我們假設利率和股息收益率為零。
在開始之前，我們可以記住，我們在開始時獲得了一個波動面。然後，本地和隨機波動率模型都會對香草和數字進行同樣的評價。
正如dm63 所指出的，一次觸摸的近似對沖是一個數字，其罷工等於障礙水平，是名義價值的兩倍。在障礙觸及的那一刻，數字價值約為其名義價值的 50%，因此是一鍵式名義價值的 100%。一旦觸及障礙，就必須解除數字對沖。
在實踐中，這不是一個完美的對沖，原因有兩個。首先，在對數正常的世界中，平價數字不值 50%。這很容易通過在對沖中添加一個香草期權來完全糾正這一問題。
第二個也是更有趣的原因是，數字期權對其 Black-Scholes 值的修正等於減去其 Black-Scholes vega 乘以隱含波動率（在貨幣上）相對於行使價的導數（以下稱為“歪斜”）。
結果是，觸摸時單次觸摸的值可以從數字和香草（其值與模型無關）加上常數乘以觸摸時偏斜的預期值來複製。
在隨機波動率模型中，當現貨移動時，微笑往往會浮動，這意味著平價傾斜保持不變。在局部波動率模型中，當現貨移動時，微笑往往會停留在罷工空間中。由於微笑是凸出的，而平價在一開始就接近底部，這意味著傾斜的幅度增加了。如果仔細考慮乘以偏斜項的因子的符號，就會得出結果。
重要的是要知道這不是數學證明，我聽說過聲稱的反例。但是，對於所有實際情況，這似乎都是正確的。
上述計算和假設的全部細節在《微笑定價解釋》一書的第 9 章中。
回到具體問題，我們一觸加無觸等於現金。然後，由於單觸在局部音量中較高，因此在局部音量中未觸摸較低，在隨機音量中較高。確定性利率和股息收益率可以很容易地重新計算在內。最後，我們被要求相信雙重不觸摸的模型行為類似於不觸摸。它是，事實上，它比一個單一的不接觸更強烈地依賴模型。即使在相對溫和的外匯波動面上，根據模型，雙倍無接觸價格也可能相差兩倍。
最後值得一提的是，波動率互換和遠期波動率協議（遠期起始普通期權）在局部波動率方面的價值高於隨機波動率。對於波動率互換，在“瞬時”波動率互換的非常特殊的情況下，有一個漂亮的證明（由於 Dupire）。
比起股票，我更像是一個利率人，但我會試一試：首先，假設兩個模型都已經過校準，以便所有行使價和到期日的普通期權都是一致的，否則問題就不會成立感覺。由於歐式數字期權是歐式看漲期權價差的極限，因此所有到期日的歐式數字期權在兩種模型中都是相同的，這也是事實。例如，digi 120 通話的價格在兩種型號中是相同的。此外，由於反射定理，有一個眾所周知的結果，即在任何情況下，美國數字電話的價格（在無漂移條件下至少 (r=q)）等於歐洲數字電話價值的兩倍。模型。因此，單次淘汰 120 看漲期權和單一淘汰賽 80 看跌期權在兩種模型下必須相同。所以，
為什麼會這樣？我提出的邏輯是假設在底層證券的某些路徑下，我們已經遇到了障礙之一（比如 120）。然後，我聲稱在局部成交量模型下，稍後觸及 80 關口（假設我們現在處於 120）的機率更高。為什麼？因為在這條路徑下，我們預計隱含波動率會上升（因為這是本地 vol 模型解釋微笑的方式）。相反，在隨機 vol 模型中，vol 可能會上升或下降，因為它是由單獨的隨機變數驅動的。因此，在本地 vol 下，我們更有可能同時遇到這兩個障礙，因此雙重不接觸的價值更低。
我確實在這裡假設我們在底層有一個典型的積極微笑。我很高興得到股票或外匯從業者的糾正。
編輯：我對@Peter A 的評論表示糾正。我在下面給出了一個連結，其中似乎是與他的評論一致的解釋。