計算隱含波動率時 ITM 呼叫的下限
假設歐式看漲期權的 Black Scholes 模型和定價公式。那麼，如果呼叫是 ITM，即如果 $ ln(\frac{S}{K})>0 $ ， 這 $ d_1 $ -term 將趨於無窮大 $ \sigma $ 歸零。這也意味著 $ d_2 $ -term 將變為無窮大，正常的 cdfs 都將接近 1。這將創建一個下限 $ S-e^{-r(T-t)}K $ 為期權價格。
現在假設我想計算 ITM 看漲期權的隱含波動率，但看漲期權的價格小於 BS 定價公式的下限。然後我試圖為 IV 求解的方程沒有解。正是在我試圖計算深度 ITM 呼叫的 IV 時，這種情況正在發生。然而，通常人們會談論波動微笑，其中深度 ITM 呼叫的波動性大於 ATM 呼叫。對此有合理的解釋嗎？
下限不僅僅是 BS 特定的界限。這是一個無套利限制，因此如果價格低於此，您就有套利機會（這裡有一些很好的解釋）。這並不意味著它一定會出現在市場上，因為中間價不一定是您可以交易的價格，當您將點差考慮在內時，這很可能會消失。ITM 期權經常出現這種情況，因為它們的數據質量較低（流動性低）。
當價格恰好在該邊界上（零時間值）時，這實際上意味著隱含波動率正好為零，因為您實質上是在聲明價格高於行使價的機率為零。波動微笑本身就是一個話題，並且有關於這種現象的書籍。然而，從實踐的角度來看，您再次需要考慮數據的質量——雖然理論上您應該有某種漂亮的平滑波動率微笑，但當您使用真實數據時，您可能會得到一些奇怪的結果。第一件事是使用 ITM 選項是一個壞主意，因為價格質量很可能是壞而不是好，只使用 OTM。“理論上”的隱含波動率應該匹配，但 OTM 看跌期權價格比 ITM 看漲期權價格更能估計公平價格。還要記住，“微笑”並不意味著它是對稱的，實際上它可以採用不同的形狀（有時很奇怪）。
最後一點，由於您談論的是深度ITM 看漲期權（或 OTM 看跌期權），由於價格被量化，波動性可能會上升。也就是說，從某個時間點開始，所有 OTM 看跌期權的成本將恰好是0.01美元，因為沒有任何東西低於此值。顯然，在這種情況下，更高執行價的隱含波動率會更高，而這個價格是固定的，你會看到它從某個點開始直線上升。這可能被誤認為是真正的波動率微笑，但事實並非如此——理論上，期權價格應低於0.01美元，而隱含波動率將完全不同。