Mark Joshi，數學金融的概念與實踐第 6 章練習 4
讓資產遵循布朗運動
$$ dS = \mu dt + \sigma dW $$ 和 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 持續的。固定利率為 $ r $ . 什麼流程 $ S $ 遵循風險中性措施？制定看漲期權價格和數字看漲期權價格的公式。
在第 6 章中，Mark Joshi 指出 $ \mu = r $ 當且僅當股票以風險中性的速度增長時。然後在 Mark Joshi 的解決方案中，他指出，由於 $ S_t $ 以與無風險債券相同的速度增長，因此它的漂移必須是 $ rS_t $ .
我看不出漂移一定是怎樣的 $ rS_t $ .
然後解決方案繼續 $ F_t = e^{r(T-t)}S_t $ 然後
$$ dF_t = e^{r(T-t)}\sigma dW_t $$ 然後聲明
$$ F_T\sim F_0 + \overline{\sigma}\sqrt{T}N(0,1) $$ 我不明白這是從哪裡來的。我很難遵循他的解決方案。非常感謝任何建議。如果需要，我可以提供完整的解決方案。
在風險中性測度下，貼現（在某些計價下）價格過程是一個鞅。如果我們有一個動態的銀行賬戶 $ dB_t = r B_t dt $ 那麼貼現資產 $ X_t = \frac{S_t}{B_t} $ 會有動態
$$ \begin{equation} dX_t = \frac{dS_t}{B_t}- \frac{S_t dB_t}{B_t^2} = (\mu - r S_t) \frac{1}{B_t} dt + \frac{\sigma}{B_t} dW_t \end{equation} $$ 現在我們為風險中性度量做一個ansatz $ \mathbb{Q} $ 被定義為 $ dW_t = dW^\mathbb{Q}_t + \frac{r S_t - \mu}{\sigma}dt $ 並且看到這確實將折扣價轉化為鞅
$$ \begin{equation} dX_t = \frac{\sigma}{B_t} dW^\mathbb{Q} _t \end{equation} $$ 資產價格現在將具有動態
$$ \begin{equation} dS_t = rS_t dt + \sigma dW^\mathbb{Q} t \end{equation} $$ 這個等式使得計算衍生品價格有些不便，因此我們改為使用與我們希望定價的衍生品具有相同期限的資產遠期合約。有到期日的遠期價格 $ T $ 是 $ F{t,T} = e^{r(T-t)} S_t $ 因此
$$ \begin{equation} d F_{t,T} = e^{r(T-t)}\sigma dW^\mathbb{Q} _t \end{equation} $$ 從整合 $ t=0 $ 至 $ T $ 給
$$ \begin{equation} F_{T,T} = F_{0,T} + \sigma \int_0^T e^{r(T-t)}dW^\mathbb{Q} t \end{equation} $$ 因此 $ F{T,T} \sim N( F_{0,T} , \sigma^2 \int_0^T e^{2r(T-t)}dt ) $ .
自從 $ F_{T,T}=S_T $ 我們可以計算任何有回報的衍生品的價格 $ g(S_T) $ 使用 $ E^\mathbb{Q}[g(F_{T,T})| \mathcal{F}t] $ . 由於遠期合約是在到期時支付的，我們必須將其折算回今天的價值，然後我們就可以得到當時的價格 $ t $ 和 $ e^{-r(T-t)} E^\mathbb{Q}[g(F{T,T})| \mathcal{F}_t] $ .