Mark Joshi 的書——量化面試問題
我目前正在解決有關以收益定價選項的問題：
$$ \max (S(S-K),0). $$
在相關問題部分，有人問為什麼銀行不願意出售這種期權？我真的想不出一個令人信服的答案，所以我會很感激這裡的任何想法。
對於現貨 S 的大值，這種支出會像 S 的平方一樣無窮大。但是，可用的對沖工具是普通期權，就像 S 的一階冪一樣。從數學上講，支付可以從一個連續的普通期權組合中複製出來，這就是銀行會嘗試做的事情。然而，普通期權的權重可能會變得非常大，實際上存在一個完全合理的普通期權市場，其中這種支付的無套利價格（通過從普通期權複製獲得）是無限的。當微笑像著名的羅傑·李（Roger Lee）漸近邊界時，就會發生這種情況。結果完全取決於香草微笑的漸近行為。結果是風險會變得不穩定，並且對於隱含波動率微笑的微小變化會發生很大變化，
我懷疑這是因為，以價內為條件，你的期權的回報在股價上是凸的 $ - $ 而對於普通看漲期權，收益是線性的。因此，三角洲 $ \Delta $ 和伽瑪 $ \Gamma $ 對沖比率更大，特別是 gamma 變得更大。
讓我們假設費率為零以減輕符號。那麼你的收益可以在股票衡量標準下定價 $ \mathcal{S} $ ，例如看這個答案，這樣： $$ \begin{align} V(t,S_t) &=E^\mathcal{Q}\left(S_T(S_T-K)^+|\mathscr{F}t\right) \ \tag{1} &=S_tE^\mathcal{S}\left((S_T-K)^+|\mathscr{F}t\right) \end{align} $$ 正如您在連結的問題中看到的那樣，根據自己的衡量標準，股票價格仍然像幾何布朗運動一樣分佈，但有漂移 $ r+\sigma^2=\sigma^2 $ 由於零利率假設。Black-Scholes 公式適用於 $ (1) $ 我們得到： $$ V(t,S_t)=S_tf(t) $$ 在哪裡 $ f(t):=f(t,S_t,T,K) $ 是普通看漲期權的 Black-Scholes 定價公式，但使得股價有漂移 $ \sigma^2 $ . 所以： $$ \begin{align} \Delta_V(t,S_t)&=f(t)+S_t\Delta{BS}(t,S_t) \[6pt] \Gamma_V(t,S_t)&=2\Delta{BS}(t,S_t)+S_t\Gamma_{BS}(t,S_t) \end{align} $$ 這些對沖比率應該比普通看漲期權大得多，特別是由於 $ S_t $ 因素：例如，對於10美元的股票價格，其對沖比率可能是普通看漲期權的 10 倍以上。