與時間相關的無風險利率的鞅定價
我想在假設無風險利率的情況下找到歐式看漲期權的價格 $ r $ 是時間相關的，即
$$ d\beta = r(t)\beta dt \leftrightarrow \beta(T) = e^{\int_0^T r(u)du} $$
我想用零息債券價格來表達價格 $ P $ , 我們知道 $ P(t;T) = \beta(t)/\beta(T) $ .
我剛剛了解了保證金定價，但這是我的策略：我的出發點是風險中性度量下的 GBM $ Q $ : $ dS = rSdt + \sigma S dW^Q $ . 介紹 $ \hat S = S/\beta(t) $ 並使用 Ito 的產品規則，我們發現
$$ d\hat S = \sigma \hat S dW^Q $$
換句話說，貼現的 GBM 是一個鞅 $ Q $ ，這反過來意味著我們可以找到呼叫價格
$$ C(t) = \frac{\beta(t)}{\beta(T)}\mathbb E^Q[(S(T)-K)^+] $$
問題：在計算的期望值中 $ C(t) $ ， 我需要 $ S(T) $ 或者 $ \hat S(T) $ ?
貨幣兌換
時間- $ t $ 按時到期的零息債券價格 $ T $ 是 $$ P(t,T)=\mathbb{E}^\mathbb{Q}_t\left[\exp\left(-\int_t^T r_s\text{d}s\right)\right]. $$
讓 $ \mathbb{Q} $ 是我們使用本地無風險銀行賬戶的標準風險中性機率度量， $ \text dB_t=r_tB_t\text dt $ ，作為現金。來自Geman 等人。(1995)，我們知道 $$ \begin{align} \frac{\text d\mathbb Q^T}{\text d\mathbb Q}\Bigg|_{\mathcal{F}_t}=\frac{P(T,T)}{P(t,T)}\frac{B_t}{B_T}=\frac{1}{P(t,T)}\frac{B_t}{B_T}. \end{align} $$ 那麼遠期價格 $ \frac{S_t}{P(t,T)} $ 是一個 $ \mathbb{Q}^T $ -馬丁格爾，即 $$ \begin{align*} S_t = P(t,T)\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^T}_t[S_T]. \end{align*} $$ 當利率是確定性的， $ \mathbb{Q}=\mathbb{Q}^T $ 和往常一樣，$$ S_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^\mathbb{Q}_t[S_T]. $$
對於使用（再投資）股票作為計價的等價機率測度，我們得到 $$ \begin{align} \frac{\text d\mathbb{Q}^S}{\text d\mathbb Q}\Bigg|_{\mathcal{F}_t}=\frac{S_Te^{qT}}{S_te^{qt}}\frac{B_t}{B_T}. \end{align} $$
期權定價
因此，看漲期權的初始值是 $$ \begin{align*} \text{Call}(S_0;K,T)&=\mathbb{E}^\mathbb{Q}_0\left[\frac{B_0}{B_T}\max{S_T-K,0}\right] \ &= \mathbb{E}^\mathbb{Q}0\left[\frac{B_0}{B_T}S_T\mathrm{1}{{S_T\geq K}}\right]-K\mathbb{E}^\mathbb{Q}0\left[\frac{B_0}{B_T}\mathrm{1}{{S_T\geq K}}\right] \ &= S_0e^{-qT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^S}0\left[\mathrm{1}{{S_T\geq K}}\right]-KP(0,T)\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^T}0\left[\mathrm{1}{{S_T\geq K}}\right] \ &= S_0e^{-qT}\mathbb{Q}^S\left[\left{S_T\geq K\right}\right]-KP(0,T)\mathbb{Q}^T\left[\left{S_T\geq K\right}\right]. \end{align*} $$
這是Geman 等人的定理 2。(1995)並將期權價格完美地分解為兩個行使機率。請注意，我們沒有對股票價格的分佈做出任何假設。假設利率不變且股票收益呈正態分佈，則包含 Black 和 Scholes (1973) 公式。