最大化 GARCH 概似性：約束解和初始值的良好實踐
我目前正在研究期權定價模型，我想包括一種在 P 度量下最大化回報可能性的方法。我正在使用 Heston 和 Nandi (2000) 模型： $$ \begin{align} ln S_{t+1} - ln S_t := r_{t+1} &= r_{ft+1} + \lambda h_{t+1} - \xi_{t+1} + \sqrt{h_{t+1}} z_{t+1}, ; z_{t+1} \sim N(0,1) \ h_{t+1} &= \sigma^2 + \pi \left( h_t - \sigma^2 \right) + \alpha \left(z_t^2 - 1 - 2 \gamma \sqrt{h_t} z_t \right). \end{align} $$
上面，數據的頻率將是每天。而且， $ \xi_{t+1} $ 是一種凸性修正，可確保預期總回報 $ E_t(S_{t+1}/S_t) = E_t(\exp r_{t+1}) = \exp(r_{ft+1} + \lambda h_{t+1}) $ . 自從 $ z_{t+1} \sim N(0,1) $ ，條件矩生成函式的對數為 $ \xi_{t+1} = h_{t+1}/2 $ .
約束
我想為穩定估計做的第一件事是確保 $ h_{t+1} $ 位於一定範圍內。我一直強加， $ h_{t+1} > 0.01^2/N_{days} $ （即，我排除了看到年化波動率低於 1% 的日子的可能性）。由於我正在使用標準普爾 500 指數，我想這並不瘋狂。我還強制它不能高於 5（即一天的年化波動率不能超過 500%）。這並不瘋狂，特別是因為我的樣本在 2013 年停止。我直接在優化的過濾步驟中強制執行它：
for tt in range(0,T-1): z[tt] = ( series[tt] - (lambda_-0.5)*h[tt] )/sqrt(h[tt]) h[tt+1] = sigma2 + persistence*(h[tt] - sigma2) + alpha*(z[tt]**2 - 1 - \ 2*gamma*sqrt(h[tt])*z[tt]) # To ensure smooth optimization, enforce bounds on h(t+1): h[tt+1] = max(self.h_min, min(h[tt+1], self.h_max))而且，很明顯，如果我執行了界限，我有一面旗幟告訴我。
我正在做的另一件事是我按照文獻進行估計 $ \sigma^2 $ 使用完整樣本和 MLE 外部： $ \hat{\sigma}^2 := \frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^{T} \left( r_{t+1} - \bar{r} \right)^2 $ . 它被稱為“變異數目標”，在 GARCH 期權定價文件中很常見。我要做的最後一件事是對 $ \pi $ ， 具體來說 $ |\pi| < 1 $ . 我也可以設置界限 $ (\alpha, \gamma) $ 使用文獻中以前的結果，但我不確定這是否完全有必要。我認為這應該確保不會發生任何瘋狂的事情，但是如果您有意見或其他建議，我非常願意接受。
初始化
現在，對於那部分，我不知道從哪裡開始。我想如果對所有東西都施加限制，我可以使用統一的隨機變數選擇一堆隨機點，然後選擇其中最有效的解決方案。我還可以查看以前的工作並初始化為或接近他們的估計。
在這裡，我真的很感激一些最佳實踐的建議。
適合的地方
只是為了讓你知道這是怎麼回事，我們的想法是校準 HN2000 模型，以使用聯合可能性對 S&P500 上的歐洲期權定價。您在上面看到的是 P 測量部分。Q-measure 部分將使用 Q-dynamics 生成價格，然後將其表示為隱含波動率。換句話說，Q 概似將是波動率表面的高斯概似。
因此，您正在查看此處的第 1 步，在繼續第 2 步之前，我需要確保它執行良好。提前致謝。
我建議您看一下Christoffersen, Heston Jacobs (2013)，因為他們進行了聯合和順序分析，更重要的是，它們包含一個非線性定價核心，您可以輕鬆地將其集成到 HN2000 模型中。
關於 $ h_0 $ 和 $ h_t $ :
為了 $ h_t $ 需要設置一個初始值。*Heston 和 Nandi (2000)*將整個樣本的變異數作為起始值，但是，我發現只取前一個（假設 15 個交易日）的變異數也很有效。這帶來了許多好處。在長返回樣本中（這是 GARCH 分析所需的），在每次觀察時一直迭代到起始值的計算成本很高。
因此，在估計的每個時間點，只考慮前 7 個值，其中第 7 個不依賴於 8 個，而是依賴於前 15 天的變異數。這樣，優化常式的每一步都考慮了 22 個交易日的歷史資訊，大約相當於一個月的時間。當然，您也可以更進一步，您應該分析這是否會對您的數據和您的案例產生重大影響。
在我的情況下，對數概似實際上隨著每個前一個時期的增加而增加，但是，在每一步中增加的幅度較小。雖然這似乎是一個限制性假設，但結果與其他實證研究非常一致。一種可能的解釋是，15 天變異數所隱含的初始值通常比樣本變異數更接近條件變異數水平，因此需要更少的時間來收斂。此外，我找到了條件變異數的起始值， $ h_0 $ , 對結果的影響可以忽略不計。正如 Heston 和 Nandi (2000) 所指出的，這是由變異數的強均值回歸特性引起的。
關於返回參數（ $ \mu $ ):
估計返回參數（在我的例子中 $ \mu $ ) 沒有任何限制會導致價值大幅波動，甚至在某些時候達到負值。給它一個合理的起始值範圍可以避免這個問題而不施加任何限制。此外，正如 CHJ (2013) 所指出的，現實價值 $ \mu $ 可以從市場數據中快速推斷出來。年度股權風險溢價由 $ \mu h_t $ = 10%，年化波動率約為 21% 意味著 $ \mu $ = ~2.26。這些是樣本年份的近似平均回報和波動率值。
對此有兩點說明：
- CHJ（2013）顯然強加 $ \mu $ = 0 在他們的順序估計中獲得原始 HN (2000) 模型參數後，沒有給出明確的原因。
- p 值 $ \mu $ 是相當高的，在最終結果中，更高或更低的參數，即使在 50% 的數量級，也幾乎看不到。所以將其設置為零或給它一個合理的起始值並限制它應該是一個好方法。
關於 $ \omega $ :
在較小程度上，同樣適用於 $ \omega $ . 一些作者，例如 Byun (2011) 和 CHJ (2013)，對 $ \omega $ 因此將其設置為零。雖然這會降低計算時間，但會導致我分析中的對數概似顯著降低。我建議估計 $ \omega $ 自由地提供替代建議，將其設置為 $ 110^-7 $ 至 $ 110^-6 $ . 這一範圍得到大量著名作品的結果（例如，Heston 和 Nandi (2000)、Christoffersen 和 Jacobs (2004) 和 Christoffersen 等人 (2012)）以及我們自己的結果和這些參數解釋了 $ 1.6 $ ％ 和 $ 5 $ 年度條件標準偏差的百分比。
將這種見解與推斷的建議相結合 $ \mu $ 從市場數據中，不僅要檢查合理性，而且要從估計中忽略它，將校準問題從五個參數減少到三個參數，讓您可以花更多時間為其餘參數尋找更好的值。
其餘參數 $ \alpha $ , $ \beta $ 和 $ \gamma $ :
這些參數，尤其是 $ \beta $ 對結果有很大影響。因此，準確和準確地估計它們是至關重要的，因為任何偏差都有相當大的影響。