有人可以解釋一下布萊克-斯科爾斯方程背後的直覺嗎？
考慮歐式看漲期權的 Black-Scholes 方程， $$ \begin{equation} \begin{cases}\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + r\frac{\partial V}{\partial S} -rV = 0, \ &\text{for} \ (S,t)\in\mathbb{R}^+\times[0,T] \ V(S,T) = \max(S-K,0), &\text{for} \ S\in\mathbb{R}^+ \ V(0,t) = 0, &\text{for} \ t\in[0,T] \ V(S,t) = S - Ke^{-r(T-t)}, &\text{as} \ S\rightarrow \infty, t\in[0,T] \end{cases} \end{equation} $$ 在哪裡 $ \sigma $ 是標的（股票）的波動率， $ r $ 是利率， $ K $ 是執行價格， $ T $ 是期權的到期時間， $ S $ 是目前股票價格，並且 $ V(S,t) $ 是期權的價值。
為什麼 Black-Scholes 模型在 $ t = T $ ，而不是使用初始條件，為什麼它會及時解決？據我了解，布萊克-斯科爾斯應該解決 $ V(S,t) $ ， 對所有人 $ t\in[0,T) $ , 對於目前股價 $ S $ . 因此，我們如何知道 $ V(S,T) = \max(S-T,0), \text{for} \ S\in\mathbb{R}^+ $ ? 此外，我們為什麼要關心解決 $ V(S,t), \text{for} \ t<T $ 如果歐式期權只能在到期時行使 $ t=T $ ?
在設置方面，我們知道目前股票價格，我們假設股票價格動態遵循幾何布朗運動（GBM），我們知道這個過程的參數（波動率等），我們知道期權的特徵（期權類型、期限）。在實踐中，我們也知道期權的目前價格，但我們假裝不知道，或者您可以說我們希望模型重新生成這個價格，所以知道價格並不重要！在這種情況下，這裡有一些注意事項：
正如您正確指出的那樣，歐式期權的回報已到期： $ \max \left(S_T-K,0\right) $ 對於看漲期權和 $ \max \left(K-S_T,0\right) $ 看跌期權。因此，如果我們知道到期時的股票價格，我們就知道收益，並且我們將知道期權在到期時的價值。但是我們需要找出今天這個期權的價值是多少，這樣我們才能在買賣時確定公平的價格。有兩種方法可以解決：
- 可以模擬股票到期時的價值（使用假設的 GBM 動態），然後根據相關機率分佈平均收益，然後將其折現到今天以獲得價格。我們必須模擬到期價格的原因是因為期權收益取決於到期時的股票價格，我們可以使用我們假設的動態（GBM）來模擬股票價格。
- 一種等效的方法是根據確定性 PDE 來解決問題，並使用數值方法解決它。隨機方法和 PDE 之間的這種等價性是更一般結果的結果，但我們現在可以將其擱置一旁。簡單的推理如下。期權合約的條款為我們提供了最終條件（到期時的收益），因此可以向後工作。如果我們假設我們知道到期時的股票價格（知道它可以在 0 到 100 萬之間就足夠了！），我們可以計算到期時的期權價值。使用到期時的這些價格，我們可以計算上一步的值（假設步長非常小，您擁有的 PDE 負責處理從一個時間步到下一個時間步移動的機率/權重）。
現在專注於方法號。上面2，我們知道到期時的股票價格可以是從零到無窮大的任何值，但是機率通常集中在一個相對較小的區域，因此範圍並不像人們想像的那麼寬。但是數值方法不會知道這一點。因此，或者，如果你說一個行使價為 100 的看漲期權，那麼如果股票價格是 1 萬億，那麼在這種情況下，行使價 100 是否重要？並且股價不能低於零，當股價低於 K 時期權不支付，所以你可以安全地假設以下邊界條件。
- 對於大 S， $ V\left(t,S\right) \approx S $
- 對於非常小的 S， $ V\left(t,S\right) \approx 0 $
類似的考慮給出了看跌期權的邊界條件。當然，我在上面的註釋中簡化了很多技術細節，但希望它是直覺的。