建模 Call Price wrt Strike w 捕捉 Vol Smile 的模型
我正在嘗試建模 $ C(K) $ , 通話價格 $ C $ 作為罷工的函式 $ K $ . 因為這與 Prob ITM 相關 - 事實上，特定到期的機率密度函式 ( https://quant.stackexchange.com/a/17650/20194 ) - pdf 的偏斜和“雙模態”變得非常相關.
在使用擷取這種偏斜的模型（隨機 vol 模型）對 PDF 進行建模方面是否已經完成了任何工作？對我們可以粗略地期待什麼有什麼見解嗎 $ \frac{dC}{dK} $ 使用現代期權定價模型？
我正在嘗試從期權價格重新創建一個 pdf，但在它表現出極端偏斜的市場中 - 什麼是最適合 cdf/pdf 曲線擬合的？我在這裡問了這個問題的另一個“統計”版本：https ://stats.stackexchange.com/questions/242590/fitting-a-cdf-to-differentiate-symbolically?noredirect=1#comment461468_242590
我真的在尋找一個模型函式，它的參數可以適合我觀察到的 $ C(K) $ 所以我可以從那裡執行分析導數。
非常感謝任何評論或指導。
我理解您的問題的方式是，您希望擬合單一期限的歐洲普通普通期權的市場價格，然後退出相應的隱含機率密度函式。有多種方法可以解決您的問題。
1) 模擬市場價格
歐洲普通香草看漲期權的市場價格在罷工中必須嚴格下降和凸出。我喜歡的一種擬合方法歸功於 Fengler (2009)。他使用三次平滑樣條，得到了一個可以非常有效地求解的二次程序。給定期權價格的分段多項式表示，您可以使用通常的關係輕鬆計算封閉形式的相應密度
$$ \begin{equation} e^{r T} \frac{\partial^2 C_0}{\partial K^2}(K) = \mathbb{Q}(K), \end{equation} $$ 在哪裡 $ \mathbb{Q}(K) $ 是罷工時的隱含機率密度函式 $ K $ . 由於擬合非常靈活，僅確保不存在套利，因此得到的密度也可以是雙峰的。
2) 模擬隱含波動率微笑
或者，您可以擬合參數形式 $ \sigma_{\text{IV}}(K) $ 到相應的隱含波動率微笑，然後使用關係
$$ \begin{eqnarray} \mathbb{Q}(K) & = & S_0 e^{r T} \phi \left( d_+ \right) \sqrt{T} \left{ \frac{\partial^2 \sigma_{\text{IV}}}{\partial K^2}(K) + 2 \frac{d_+}{K \sigma_{\text{IV}}(K) \sqrt{T}} \frac{\partial \sigma_{\text{IV}}}{\partial K}(K) \right.\ & & + \left. \frac{d_+ d_-}{\sigma_{\text{IV}}(K)} \left( \frac{\partial \sigma_{\text{IV}}}{\partial K} \right)^2 + \frac{1}{K^2 \sigma_{\text{IV}}(K) T} \right}, \end{eqnarray} $$ 詳情參見例如 Fengler (2005)。
然而，許多常見的參數化將無法擬合雙模隱含機率密度。另一種方法是使用多項式 $ n $ 在沿線的隱含波動率
$$ \begin{equation} \sigma_{\text{IV}}(k) = a_0 + a_1 k + a_2 k^2 + \sum_{i = 3}^n \left( a_{i, +} k^i \mathrm{1} { k \geq 0 } + a_{i, -} k^i \mathrm{1} { k < 0 } \right), \end{equation} $$ 在哪裡 $ k = \ln \left( K / F_0(T) \right) $ 是對數貨幣性。雖然這是對近價報價的靈活參數化，但您必須單獨處理翅膀。如果選擇得當，這具有以下優點：i）您可以擬合非常靈活的形狀，ii）您的校準問題是線性的，並且 iii）您可以相對輕鬆地應用上述公式來計算封閉形式的隱含機率密度。但是，它並不能確保生成的校準沒有套利。一種非常相似的方法是使用薄板樣條。它具有相同的優點/缺點。
如果您最終為隱含波動率微笑選擇了一種您無法分析區分的參數形式，那麼您總是可以求助於自動微分庫。這些可以幫助您獲取幾乎任意函式的精確導數（而不是有限差分）。
3) 對隱含分佈建模
最後，您可以直接擬合隱含分佈。當您提到雙峰機率密度時，我假設您對以可預測的發生時間計價的情況（例如季度收益報告）感興趣。想像一下你的“正常”（如 - 除了跳躍之外的所有時間）對數回報遵循一些徵費過程 $ X $ ， IE
$$ \begin{equation} \ln \left( S_t / S_0 \right) = \gamma t + X_t, \end{equation} $$ 在哪裡 $ \gamma $ 是一些漂移項（您需要選擇以使股票價格變為鞅）。然後，您可以通過一次可預測的跳躍來增強這些動態 $ Y $
$$ \begin{equation} \ln \left( S_t / S_0 \right) = \gamma t + X_t + Y \mathrm{1} \left{ t \geq t_J \right} \end{equation} $$ 在哪裡 $ Y $ 遵循例如具有機率密度函式的高斯混合
$$ \begin{equation} f_Y(X) = p \phi \left( x; \mu_+, \sigma_+ \right) + (1 - p) \phi \left( x; \mu_-; \sigma_- \right). \end{equation} $$ 這裡 $ p $ 是向上跳躍的機率，並且 $ \phi(x; \mu, \sigma) $ 是標準正態機率密度函式。相應的特徵函式可以以封閉形式計算。然後，您使案例如 Fang 和 Osterlee (2008) COS 方法進行定價，並根據歐洲普通普通期權的市場價格校準您的參數。最後，您可以使用相同的方法來計算校準模型的隱含密度。這種方法的美妙之處在於您可以獲得非常容易解釋的參數。
直接擬合隱含機率密度的另一種可能性是使用正態分佈的 Gram-Charlier 級數展開。後者在較高時刻直接參數化，並且可以非常有效地計算期權價格。一個很好的參考是 Schloegel (2013)。
例子
下圖是截至 2016 年 10 月 27 日亞馬遜在 2016 年 11 月 4 日到期的隱含密度。亞馬遜在當天收盤後報告其季度收益。使用 1) 中的方法計算隱含密度。紅色虛線是收盤價前數據，黑色虛線是開盤價後數據。
參考
Fang、Fang 和 Cornelis W. Oosterlee（2008 年）“基於傅里葉-餘弦級數展開的歐洲期權新定價方法”，暹羅科學計算雜誌，卷。31，第 2 期，第 826-848 頁
Fengler, Matthias R. (2005) “隱含波動率的半參數建模”，Springer Finance
Fengler, Matthias R. (2009)“隱含波動率表面的無套利平滑”，量化金融，卷。9，第 4 期，第 417-428 頁
Schloegel, Erik（2013 年）“標的資產遵循 Gram/Charlier 任意順序密度的期權定價”，經濟動態與控制雜誌，卷。37，第 3 期，第 611-632 頁
