修改時間相關變數的基本 Black Scholes 方程 - Per Wilmott？

我正在閱讀 Wilmott 的書，但不明白他為什麼要採取以下步驟來重寫 PDE。我得到方程 8.4，這只是股息收益股票的典型 PDE，其中 r(t)、D(t) 和 sigma(t) 現在被替換以表示它們與時間相關。

但是，我不明白引入新變數的含義和合理性。為什麼要重新定義期權價值？什麼是時間欄？誰能解釋如何從 8.4 到 8.5？

謝謝！

PDE 在其原始形式中具有可變係數 - 取決於 S 和 t - 例如， $ \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} $ 有 $ \sigma(t) $ 和S。它們很難解決和分析，如果可以找到一些變數的變換，將其減少到常數係數，那麼它會變得容易得多。

P Wilmott 選擇了這三種轉換，儘管這些轉換並不是唯一可以達到預期結果的轉換。PDE 世界中有明確定義的程序來確定合適的轉換，但這是另一個主題。就目前的目的而言，這些變換的主要目的是擺脫可變係數並儘可能簡化 PDE，可能會簡化為允許解析解的形式。他的轉變實現了這一點。

你可以直覺地解釋他的變換如下：

$ \bar{S} $ 就像將股票價格轉換為股票的遠期價格。

$ \bar{V} $ 正在將期權溢價轉化為其遠期價值。

和 $ \bar{t} $ 大致將時間轉換為總瞬時變異數。請記住，擴散係數和時間之間有很好的聯繫。

再問，怎麼從8.4到8.5，和參數不依賴t的情況很相似。步驟會略有不同，但過程是相同的。您可以在此處找到詳細資訊：

從 Black-Scholes 微分方程到擴散方程的轉換 - 並返回

或者在這個影片中：

https://youtu.be/IgMoOcO095U

PS及聲明：我為影片做出了貢獻！

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/46750