蒙特卡羅定價
我在使用 Montecarlo 模擬來為通用看漲期權定價時遇到一些問題。我想用一個簡單的案例來解釋一下關於 MC 模擬的一些事情，然後我會談談我的問題。
- Montecarlo - 簡單案例：考慮一組參數：S=1, K=1, sigma=0.5, r=0, T=1, N=1000（數字模擬MC）；帶有此範例的 montecarlo 以這種方式工作：
1.1 $ S $ =
$$ 1,1, …, 1 $$我將重複標的值的次數等於 $ N $ 1.2 $ X $ = $ S e^{Z} $ 在哪裡 $ Z $ = ( $ 1\times N $ ) Browniam 運動的向量 –> 我得到一個向量 ( $ 1\times N $ ) 其中我將每個值相乘 $ S $ 每個值為 $ e^{Z} $
1.3 在向量中 $ X $ , 我取 $ \max(X-K,0) $ 所以在向量內的每個值減去 K 和零之間
1.4 最後，我找到了回報，即向量的平均值。
- Montecarlo - 另一種情況：考慮一組參數：S=$$ 1.1,1.2 $$, K=1, sigma=0.5, r=0, T=1, N=1000（數字模擬MC）；帶有此範例的 montecarlo 以這種方式工作：
2.1 $ S = \begin{pmatrix} 1.1 & \dots & 1.1\ 1.2 & \dots & 1.2 \end{pmatrix} $ ( $ 2 \times N $ ); 所以我們重複標的值的次數等於 $ N $
1.2 $ X $ = $ S e^{Z} $ = $ \begin{pmatrix} 1.1 \exp{Z_1} & \dots & 1.1\exp{Z_N}\ 1.2 \exp{Z_1}& \dots & 1.2\exp{Z_N} \end{pmatrix} $ 在哪裡 $ Z $ = ( $ 1\times N $ ) Browniam 運動的向量 –> 我得到一個向量 ( $ 2\times N $ ) 我將第一行的每個值相乘 $ S $ 每個值為 $ e^{Z} $ , 第二行也一樣 $ S $
1.3 在向量中 $ X $ , 我取 $ \max(X-K,0) $
1.4 最後，我找到了兩個收益，即第一行的平均值（對於第一個收益）和第二個收益的平均值（對於第二行）
**現在我可以解釋我的問題：如果我兩者都有，我怎樣才能找到回報 $ S $ 和 $ \sigma $ 那是向量？**例如， $ S $ =
$$ 1.1,1.2 $$, $ \sigma $ =$$ 0.5,0.6 $$ 我已經嘗試過這種方式，但我認為它是錯誤的..
- $ S = \begin{pmatrix} 1.1 & \dots & 1.1\ 1.2 & \dots & 1.2 \end{pmatrix} $ ( $ 2 \times N $ )
- $ \sigma = \begin{pmatrix} 0.5 & \dots & 0.5\ 0.6 & \dots & 0.6 \end{pmatrix} $ ( $ 2 \times N $ )
- 我生成兩個布朗運動（因為我有兩個 sigma 值）= $ Z = \begin{pmatrix} BM_{11} & \dots & BM_{1N}\ BM_{21} & \dots & BM_{2N} \end{pmatrix} $
- $ X = S e^{Z} = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1.1 e^{BM_{11}} & \dots & 1.1 e^{BM_{1N}}\ 1.2 e^{BM_{11}} & \dots & 1.2 e^{BM_{1N}} \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} 1.1 e^{BM_{21}} & \dots & 1.1 e^{BM_{2N}}\ 1.2 e^{BM_{21}} & \dots & 1.2 e^{BM_{2N}} \end{pmatrix} \end{pmatrix} $
- 之後，我像以前一樣取最大值，取平均值，但在這種情況下，我獲得了 4 個收益！出於這個原因，我不確定這種方法..
通常，在製定蒙地卡羅估值設置時，您不會使用“純”矩陣代數。
如果您的期權屬於歐式期權，並且您真的想一次性為所有期權定價，您可以按照以下方式進行。讓 $ M $ 表示模擬次數 $ m=1\ldots M $ ， 讓 $ N $ 表示底層證券的數量 $ n=1\ldots N $ ， 然後讓 $ K_m $ 表示每次罷工。
讓 $ \Sigma $ 表示您的資產收益的共變異數矩陣，即 $ \Sigma_{i,j}=\sigma_i\sigma_j\rho_{i,j} $ 和 $ \Sigma_{ii}=\sigma_i^2 $ . 然後， $ C $ 表示 Cholesky 分解 $ \Sigma $ ， IE $ CC^T=\Sigma $ . 注意 $ \Sigma $ 是 $ N \times N $ 和 $ C $ 是 $ N \times N $ 也是。
為了堅持你的例子，讓 $ \sigma\equiv\begin{pmatrix}\sigma_1\\sigma_2\\ldots\\sigma_N\end{pmatrix} $
如果資產之間沒有相關性，那麼 $$ \begin{align} \Sigma&=\begin{pmatrix}\sigma_1^2&0&\ldots&0\ 0&\sigma_2^2&\ldots&0\0&0&\ldots&0\0&0&\ldots&\sigma_N^2\ \end{pmatrix}=\mathrm{Diag}\left(\sigma_1^2,\sigma_2^2,\ldots,\sigma_N^2\right)=\mathrm{Diag}\left(\sigma\right)\mathrm{Diag}\left(\sigma\right) \end{align} $$ 而且當然， $$ C=\begin{pmatrix}\sigma_1&0&\ldots&0\ 0&\sigma_2&\ldots&0\0&0&\ldots&0\0&0&\ldots&\sigma_N\ \end{pmatrix}=\mathrm{Diag}(\sigma) $$
不考慮利率和股息收益率，讓我們介紹一下 $ 1\times M $ 向量 $ e $ 僅由一個組成。給定一個 $ N\times M $ 標準正態變數矩陣 $ U $ ，我們現在可以設置 $$ X=-\frac{1}{2}\sigma\otimes\sigma e T+ \sqrt{T}CU $$ 在哪裡 $ \otimes $ 表示逐元素乘法，並且 $ T $ 表示您的期權到期的時間。的維度 $ X $ 那麼是 $ N \times M $ 也是。
最終，我們發現
$$ S_T=S_0\otimes e^{X} $$
和 $$ P=\max(S_T-Ke,0) $$ 和 $ S_0 $ 這 $ N\times 1 $ 初始價格向量和指數運算符 $ e $ 以逐個元素的方式理解。此外， $ \max $ 也應以逐個元素的方式理解，並且 $ K $ 是罷工的向量。然後你可以平均每一行 $ N\times M $ 期權收益矩陣 $ P $ .
同樣，您選擇的程式語言應該有一些輔助工具和對向量乘法、矩陣乘法和向量乘法的通用解釋；而且您很可能不會完全遵循此設置。