現金流量連續累積且隨機時的淨現值
我試圖找到一個隨機積分的封閉形式解決方案 - 這實際上只是預期淨現值的廣義表達式， $ E^*[V_t] $ , 年金（或永續年金，如果 $ T \to \infty $ )，當現金流是一些隨機過程的結果時。 $ V_t $ 定義為：
(1)
$$ V_t =Max(L_t, \int_t^{T} (G_0e^{(m-d+W_t\sigma)t}-B_0e^{-dt}-F)\frac{1}{e^{rt}}dt) $$ 在哪裡：
$ T $ 任意設置為使期望值最大化的值， $ E^*[V_t] $ .
$ 0 \le t \le \infty $
$ G_0 $ , $ B_0 $ ， 和 $ F $ 是常數 $ \gt 0 $
$ L_t $ 是表示清算價值的任意值 $ V_t $ ; 假設它是 $ 0 $ .
$ m $ 和 $ d $ 是恆定速率 $ \gt 0 $
$ \sigma^2 $ 是變異數
$ W_t $ 是布朗運動使得 $ \frac{dG}{G} = (\mu - d)dt + \sigma dW_t $
和
$ G_t = G_0*e^{((\mu-\frac{\sigma^2}{2})-d)t+\sigma W_t} $
受限於邊界條件：
（條件一） $ -\infty \ge T \ge 0 $
（條件二） $ \frac{dV}{dt} \to G_t $ 作為 $ G_t \to \infty $ .
（條件三） $ \frac{dV}{dt} \to 0 $ 作為 $ G \to 0 $
（條件四） $ \frac{dV}{dt} \to 0 $ 作為 $ t \to \infty $
（條件五） $ V_t \ge 0 $ 對所有人 $ t $
作為 $ t \to \infty $ , $ E^[\frac{dV}{dt}] \to -Fe^{-r*t} \to 0 $ . 所以我相當有信心積分會收斂並且有限 $ T $ 將滿足約束。
我也假設 $ G_t $ 可以進行 delta 對沖——我正在治療 $ \frac{dG_t}{dt} $ 作為鞅 $ \mu = 0 $ .
我試圖用標準期權定價模型來評估這個問題，但它們都假設收益是一次性的交易——即使是永久美式期權也是建立在單期收益的假設之上的。收益持續累積的假設導致風險中性機率（相對於 $ N(d_1) $ 和 $ N(d_2) $ 在 Black-Scholes 的常見推導中），它會隨著 $ dt $ .
使用離散化風險中性機率的離散迭代方法（即二項式樹、蒙特卡羅模擬等）來解決這個問題似乎相當簡單。但是，我無法在目前設置中使用任何這些方法。
我錯過了什麼？非常感謝您的幫助。如果您想了解更多關於方程式 (1) 試圖建模的背景資訊，請告訴我。
我相信我可以回答我自己的問題……主要是。感謝所有提供寶貴意見的人！
我能夠向自己充分證明，圍繞已知結果機率分佈的預期結果範圍的捲積與傳統的資產和期權定價理論收斂。我很高興得知該方法通常適用於存在隨機變數的所有過程。
幾篇論文中列舉了類似的方法：
- T. Artikis，A. Voudouri。貼現連續現金流和某些變換特徵函式時產生的隨機積分
- M. Schmelzle。使用傅里葉變換的期權定價公式：理論與應用
和更多。
基本上，如果您有一個已知的機率密度函式，例如正態分佈：
$ \phi(Z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^2}{2}} $
和
$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{Z^2}{2}} = 1 $
和
$ Z = \frac{1}{\sigma\sqrt{\Delta T}}(-r+\mu+\frac{(\sigma^2)}{2})(\Delta T) $
在哪裡：
$ \sigma^2 $ 是變異數
$ \Delta T $ 是時間的變化， $ t $ .
$ \mu $ 是瞬時漂移，並且；
$ r $ 是興趣的力量
可以證明，對於一些隨機價格過程， $ P_t $ ，具有已知分佈，圍繞變換後的風險中性機率密度函式進行卷積， $ \theta $ , 等於預期未來值 $ P_T $ . 讓預期 $ P $ 有時， $ T $ ， 平等的：
(2)
$$ E^[P_T] =f(P * \theta)(T) = \int_{-\infty}^{\infty}\theta(Z(T-\tau)) (P_0e^{\sigmaZ(T-\tau)}) {d \tau} \to P_0e^{r*T} $$ 在哪裡
$ \theta $ 是正態分佈的風險中性機率密度函式的變換，使得：
$ \theta_t = \phi(Z) (\int_{-x}^{x}{\phi(Z)dt})^{-1} $
因此，無風險分佈下的捲積在對未來分佈的正確假設下與資產定價的無套利理論收斂。這是雞和蛋的事情，我知道，但它仍然很整潔！
我相信這種方法可以用於在不確定的情況下對一般數量進行定價。將此概念應用於原始問題中的等式（1）將產生以下關係：
$$ E^[V_t] = \int_{t=0}^{T}\theta(Z(t-\tau)) \frac{dV_t}{dt}e^{rt} d\tau $$ 在實踐中，這種方法為我提供了與改進的 Black-Scholes 和離散二項式機率模型收斂的令人滿意的結果。事實上，卷積方法可用於導出累積密度函式的風險中性機率， $ \Phi $ ，它滿足類似於 Black-Scholes 的封閉形式解決方案中使用的參數。
需要注意的是，雖然分佈 $ \phi $ 是正常的，圍繞指數過程的結果卷積是對數正態的。由於結果的對數正態分佈，當成本函式固定時，這種方法將導致比直接 DCF 更高的目前估值。似乎卷積方法可以適用於均值回复 Ornstein-Uhlenbeck 過程。這將在一定程度上緩和向上偏差，但仍會為邊際項目分配顯著更高的價值和/或為無利可圖的項目分配正值，其中直接 DCF 將分配 $ 0 $ 或負值。
現在，我唯一的問題是選擇一個最優的 $ T $ . 如果我選擇 $ T $ 這樣：
$ G_0e^{-dt} - B_0^{-dt} - F = 0 \to T = \frac{Ln(\frac{G_0-B_0}{F})}{d} $
我覺得我遺漏了一些東西，因為通過增加 $ T $ ，但設置 $ T \to \infty $ 導致價值破壞。另一種看待這個問題的方法是在終端時間節點，向前執行時間仍然有一個預期的正值。我可以離散地迭代 $ t $ s…我也可以估計 $ T $ 通過優化 $ V_t $ ,..但這一切都很糟糕。對封閉式方法有什麼想法嗎？