無套利定價
我們有一份契約，其價值是 $ A(S_t,t) = S_t^3 $ 在任何時候，而不僅僅是在到期時。 $ S_t $ ，標的股票，遵循幾何布朗運動， $ \frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dB $ . 我們將如何證明這與無套利定價不一致？
我認為一個潛在的解決方案可能是表明它不是 Q 度量下的鞅。基本上，我們首先假設 $ A(S_t, t) $ 是鞅，這意味著 $ e^{-rt}E^Q[A_t] = A_0 = S_0^3 $ . 但是，在風險中性度量下，我們知道 $ S_t = S_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t + \sigma \sqrt{t} Z^Q} $ 在哪裡 $ Z $ 是標準正常的。它遵循 $ A(S_t, t) = S_t^3 = S_0^3e^{3(r-\frac{\sigma^2}{2})t + 3\sigma \sqrt{t} Z^Q} $ . 計算期望 $ e^{-rt}E^Q[S_t^3] = S_0^3 e^{-rt}\int_{z^*}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-z^2}{2}}e^{3(r-\frac{\sigma^2}{2})t + 3\sigma \sqrt{t} Z^Q} $ 我們獲得 $ S_0^3 e^{2rt + 3\sigma^2t} $ . 因為 $ S_0^3 e^{2rt + 3\sigma^2t} \neq S_0^3 $ 我們得出結論 $ A(S_t, t) $ 不是鞅，所以契約有價值的事實 $ S_t^3 $ 在任何時候都與無套利定價不一致。
像這樣的東西會起作用嗎？任何幫助將非常感激。謝謝。
在應用伊藤的風險中性措施下： $$ dS^3_t = 3 \left[ (r + \sigma^2)S^3_t dt + \sigma S^3_t dW_t \right] $$ 風險中性漂移不是無風險利率，因此 $ S_t^3 ; \forall t $ 不能是債權或任何其他可交易資產的價格。
所以基本上與你的證明相同，但沒有計算期望等。只需要看看當地的漂移。