二項式無套利定價模型中上因子和下因子的非負性
考慮一隻正在交易的股票 $ S_0 $ 有時 $ t=0 $ 預計將以價格交易 $ uS_0 $ 或者 $ dS_0 $ 在時間 t=1 其中 $ u $ 和 $ d $ 是向上因素和向下因素。該理論說，要排除套利，我們必須假設： $ 0<d<1+r<u? $ 有人能解釋一下這個假設是如何處理無套利的嗎？
這聽起來像是 Björks 書的第一章，對嗎？它處理單階段模型。簡單地說，如果 $ 1+r \leq d $ 你買了股票並擁有 $ V_1\geq 0 $ 盈利機率為正。如果 $ 1+r \geq u $ 您想賣空股票並從收益中購買債券。結果是一樣的。
編輯：為了證明條件是充分的，我們可以遵循“連續時間套利理論”中的命題 2.3。在兩個資產、一個週期的世界中，可以描述所有可能的套利投資組合（因為 $ V_0 = 0 $ ） 經過 $ x+yS_0 = 0 $ ( $ x $ 是投資於債券的金額， $ y $ 在股票中），從而寫出當時的價值 $ 1 $ 明確：
$ V_1 = y S_0 (u- (1+r)), \text{if S goes up} $ 和 $ V_1 = y S_0 (d- (1+r)), \text{if S goes down} $
現在，對於一個套利投資組合 $ y>0 $ 我們需要那個 $ V_1 > 0 $ . 這只能發生在 $ u>1+R $ 和 $ d>1+r $ . 類似地，對於一個套利投資組合 $ y<0 $ , 得到不等式的另一個方向。
如果條件
$$ 0<d<1+r<u $$不滿足，二項式模型（與 $ d<u $ ) 將有即時套利機會：
$ 1+r\geq u $ ：那麼在任何機率下，無風險資產在任何狀態下的回報率都低於股票，因此您可以做空股票以購買無風險資產，並最終以正機率（套利）獲得一些無風險利潤。
$ d\geq 1+r $ ：那麼在任何機率下，股票在任何狀態下的回報率都低於無風險資產，因此您可以做空無風險資產以購買股票並最終以正機率（套利）獲得一些無風險利潤。
條件 $ d,u>0 $ 只是為了確保所有州的股票價格為正。