如何從 IV 曲面計算局部 vol 曲面的數值範例
我正在尋找如何將 IV 表面轉換為局部 vol 表面的 excel 範例（不是 Dupire 的 eqn 的副本）。如果不成功，我將通過 Dupire 的 eqn 工作，但首先看一個範例會有所幫助。
我知道一篇文章（下載）解釋瞭如何從 IV 表面計算局部體積表面以及這本書的第 18 章在這種情況下非常好。但是你知道 Dupire (1994) 的局部波動率公式是 σ大號(ķ,噸)=√∂C∂噸12ķ2∂2C∂ķ2
$$ \begin{align} \sigma_L(k,T)=\sqrt\frac{\frac{\partial C}{\partial T}}{\frac{1}{2}K^2\frac{\partial^2 C}{\partial K^2}} \end{align} $$ 在哪裡C=C(ķ,噸) $ C = C(K,T) $ 是時間-噸 $ t $ 行使價的看漲價格ķ $ K $ 和成熟噸 $ T $ 當現貨價格為小號噸 $ S_t $ . Dupire (1994) 局部波動率公式所需導數的解析表達式需要大量編碼 從編碼的角度來看，使用有限差分來近似導數更簡單。寫C(ķ)=C(ķ,噸) $ C(K) = C(K,T) $ 強調歐洲看漲期權價格對期限 T 的依賴性。我們使用一個小的時間增量Δ噸 $ \Delta t $ 並將時間導數近似為中心差 ∂C∂噸≈C(ķ,噸+Δ噸)−C(ķ,噸−Δ噸)2Δ噸
$$ \begin{align} \frac{\partial C}{\partial T}\approx\frac{C(K,T+\Delta T)-C(K,T-\Delta T)}{2\Delta t} \end{align} $$ 同樣，我們可以使用一個小的罷工增量Δķ $ \Delta K $ 並將二階罷工導數近似為中心差 ∂2C∂ķ2≈C(ķ−Δķ,噸)−2C(ķ,噸)+C(ķ+Δķ,噸)(Δķ)2$$ \begin{align} \frac{\partial^2 C}{\partial K^2}\approx\frac{C(K-\Delta K,T)-2C(K,T)+C(K+\Delta K,T)}{(\Delta K )^2} \end{align} $$