默頓模型的數值方法

Merton 模型中帶有跳躍的底層證券的隨機微分方程為：

[Math Processing Error]$$ d{{S}{t}}=\mu ,{{S}{t}}dt+\sigma ,{{S}{t}},d{{W}{t}}^{P}+(J-1){{S}{t}}d{{q}{t}} $$ 在哪裡 $ t \quad,,, \quad $ =時間

$ S \quad, \quad $ = 標的股票價格

$ \mu,,\quad\quad $ = 漂移率

$ \sigma\quad,,\quad $ = 波動性

$ dW,,\quad $ = Gauss-Wiener 過程的增量

$ dq\quad\quad $ =Poisson過程

$ J -1 ,,,,, $ = 產生跳躍的脈衝函式[Math Processing Error] $ S $ 到 $ S\lambda $

$ K\quad\quad $ = $ E(\lambda -1) $ , 預期的相對跳躍大小

和

定義Poisson過程 $ dq_t $ 如下：

[Math Processing Error]$$ d{{q}_{t}}=\left{ \begin{align} & 0,,,,,,,,,,,with,probability,,1-\lambda (t)dt, \ & 1,,,,,,,,,,with,probability,,,,,,,,\lambda (t)dt, \ \end{align} \right. $$ 在哪裡[Math Processing Error] $ \lambda $ =Poisson到達強度

我們假設 Gauss-Wiener 過程和跳躍是獨立的。基於 SDE 的結果 $ PIDE $ 對於或有索賠 $ V(S,t) $ 這取決於[Math Processing Error] $ S $ 由（默頓 1976 年）給出：

[Math Processing Error]$$ \begin{equation} \frac{\partial V}{\partial t}+(r-K \lambda )S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{S}^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{S}^{2}}}-(r+\lambda )V+\lambda ,\int_{0}^{\infty }{g(J)V(J{{S}_{t}},t),}dJ=0 \end{equation} $$ 現在我想解決這個 $ PIDE $ 使用一些數值方法，如“蒙地卡羅”、“二叉樹”等，以便為歐式期權定價。有人會給或教我一些有用的和有啟發性的註釋或一些參考資料，我可以在默頓模型下學習超過 3 種歐洲期權定價的數值方法嗎？ 我很感激任何幫助。

你應該看看 BENCHOP 項目。在那裡，我們針對 6 個期權定價問題對大約 15 種不同的數值方法進行了基準測試。問題之一是默頓模型。這些方法分為 4 個家族：蒙特卡羅、傅里葉、有限差分和徑向基函式方法。

這是包含結果的論文：http:

//dx.doi.org/10.1080/00207160.2015.1072172，

這裡是項目頁面，您可以在其中查看每種方法的實現細節：

http ://www.it .uu.se/research/project/compfin/benchop。

BENCHOP – The BENCHmarking project in option pricing
Lina von Sydow, Lars Josef Höök, Elisabeth Larsson, Erik Lindström, Slobodan Milovanović, Jonas Persson, Victor Shcherbakov, Yuri Shpolyanskiy, Samuel Sirén, Jari Toivanen, Johan Waldén, Magnus Wiktorsson, Jeremy Levesley, Juxi Li, Cornelis W. Oosterlee, Maria J. Ruijter, Alexander Toropov, and Yangzhang Zhao
International Journal Of Computer Mathematics Vol. 92 , Iss. 12,2015

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/26008