選擇和完成錢的可能性？
這似乎是另一個簡單的問題，但我有點困惑。我知道 delta 是完成 ITM 的選項的代理。在 BSM 定價模型中，Delta 也恰好是 N(d1)。N(d1) 通常非常接近 N(d2) 但並不精確，並且會隨著到期時間的增加而偏離。一些消息來源說 N(d2) 實際上是期權到期的機率。
但是，如果您查看下面的 N(d1) 等式，您會發現它涉及“r”，這是風險中性定價的結果。
最後一個消息來源提到，涉及“r”的上述 d1 方程實際上對於期權到期 ITM 的機率並不准確。事實上，該消息來源聲稱“r”應替換為 mu，或標的的平均回報。後續的 + 號也應替換為 - 號。基本上聲稱我們應該檢查風險自然世界中的機率。
所以現在我很困惑。我錯過了什麼？如果我真的想計算一個期權完成 ITM 的機率，我應該使用什麼等式？每個來源都是正確的，我只是缺少一些小警告嗎？
謝謝！
你要小心 $ \mathbb{P} $ 和 $ \mathbb{Q} $ . 的確， $ N(d_2) $ 是事件的機率 $ {S_T\geq K} $ 在風險中性的世界裡。注意 $ r $ （或者 $ r-q $ ) 是風險中性世界中的漂移，因此這個變數出現在 $ d_2 $ . 由於到期時間和波動性通常很小，即 $ d_1=d_2+\sigma\sqrt{T-t}\approx d_2 $ ，即 Delta 近似於 ITM 機率。
順便說一句，Delta 也可以被視為一種機率：Delta 是在股票度量下期權是 ITM 的機率（這是另一個使用股票作為計價的等效鞅度量）。
這很重要：如果你想計算你的股票高於某個門檻值的機率 $ K $ 當天 $ T $ ，那麼請不要使用這些公式中的任何一個！！！你可以回到 $ \mathbb{P} $ 並更換 $ r $ 經過 $ \mu $ 但你至少有兩個大問題：
1）你如何估計 $ \mu $ ? 對數回報的自相關性很低，估計股票的預期漂移非常困難。
- 該公式僅在股價遵循幾何布朗運動時才成立，但我們有大量證據表明現實世界（更）複雜：肥尾、偏斜、隨機波動等。
因此，Black Scholes 模型（及其相關機率）是開始學習金融模型的好方法，但您不應該在現實生活中應用它們，它們過於簡單。
話雖如此，您可以嘗試估計現實世界的機率，例如可以得到以下分佈 $ \mathbb{Q} $ 從交易的期權價格（Breeden Litzenberger 1978），然後將此分佈轉換為現實世界的分佈，請參見 Stephen Taylor 的書（資產價格動態、波動率和預測，2005 年）中的第 16 章。