期權上的期權
契約的價值是多少（在目前時間支付 $ t_0 $ ) 賦予一個人以預定價格購買普通看漲期權（具有一定的行使價 K）的權利（但不是義務） $ p $ 在未來的時間 $ t_e $ ? 價格， $ p $ 確定在 $ t_0 $ 並支付 $ t_e $ 如果持有人行使購買期權的權利。假設股票是對數正態的，波動性恆定。
證明比較長，所以我重點展示推理和主要步驟。
我們研究 Black-Scholes 模型。不失一般性，我們專注於一個有罷工的期權 $ P $ 購買 $ t_e $ 到期的歐式看漲期權 $ T $ ，寫在股票上 $ S $ . 總是對風險中性措施採取預期 $ Q $ 除非另有說明，我們寫 $ E_t(\cdot):=E(\cdot|\mathscr{F}_t) $ .
價值 $ C_t $ 歐式看漲期權等於： $$ C_t=E_t\left(e^{-r(T-t)}\max{S_T-K}\right) $$
價值 $ O_t $ 歐式看漲期權的期權由下式給出： $$ \begin{align} O_t &=E_t\left(e^{-r(t_e-t)}\max{C_{t_e}-P,0}\right) \&=e^{-r(t_e-t)}E_t\left( \max\left{E_{t_e}\left(e^{-r(T-t_e)}\max{S_T-K,0}\right)-P,0\right}\right) \&=e^{-r(T-t)}E_t \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\left(E_{t_e}\left(1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)\right)-\tilde{P}\right)\right) \&=e^{-r(T-t)}E_t\left(E_{t_e} \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)-1_{S_{t_e}\geq S^\star}\tilde{P}\right)\right) \\tag{1}&=e^{-r(T-t)}\left( E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}S_T\right) -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}\right)K -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)\tilde{P} \right) \end{align} $$ 最後一個不等式源於迭代期望定律， $ \tilde{P}:=e^{r(T-t_e)}P $ 是複合罷工，並且 $ S^\star $ 是的價值 $ s $ 求解以下方程： $$ \tag{2}c(s,T-t_e)-\tilde{P}=0 $$ 在哪裡 $ c $ 是歐式看漲期權的未折現 Black-Scholes 價格： $$ c(s,\tau):=se^{r\tau}\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)-K\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right) $$
在實踐中，數量 $ S^\star $ 可以通過求解數值方程來計算 $ (2) $ ，例如牛頓-拉夫森。現在，方程的第三項 $ (1) $ 僅僅是對數正態變數高於的機率 $ S^\star $ . 與經典的 Black-Scholes 類比，這等於： $$ \tag{3.a}E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)=\Phi\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}}\right) $$
計算第二項 $ (1) $ ，我們定義 $ Z $ 和 $ Y $ 作為具有零均值和單位變異數的兩個獨立正態隨機變數，以表示來自的布朗增量 $ t $ 至 $ t_e $ 從那裡到 $ T $ . 注意： $$ \begin{align} 1_{{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}} &=1_{\left{S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)+\sigma \sqrt{t_e-t}Z}\geq S^\star,
S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\left(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y\right)}\geq K\right}} \\tag{4} &=1_{\left{Z\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},
X\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right}} \end{align} $$ 在哪裡 $ X $ 是第三個標準正態變數，具有以下相關性 $ Z $ : $$ \rho:=\frac{\text{Cov}(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y,Z)}{\sqrt{V(\sqrt{T-t_e}Z+\sqrt{t_e-t}Y)V(Z)}}=\sqrt{\frac{t_e-t}{T-t}} $$ 因此方程中的第二項 $ (1) $ 是累積的雙變數正態機率 $ Z $ 和 $ X $ 通過它們的相關性參數化 $ \rho $ : $$ \begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \[6pt]\tag{3.b} &\quad=\Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align} $$對於方程的第一項 $ (1) $ ，我們將期望的度量更改為股票度量，其中 numéraire 是股票 $ S $ , 我們將寫 $ \mathcal{S} $ : $$ \begin{align} E_t^\mathcal{Q}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) &=E_t^\mathcal{S}\left(e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T}1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) \ &=e^{r(T-t)}S_tE_t^\mathcal{S}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \end{align} $$
這種測量變化所隱含的 Radon-Nikodym 過程是： $$ \begin{align} \left.\frac{d\mathcal{Q}}{d\mathcal{S}}\right|_{\mathscr{F}_t} &=e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T} \ &=e^{\frac{\sigma^2}{2}(T-t)-\sigma W^\mathcal{Q}_t} \end{align} $$ 因此，這種測量變化的“諾維科夫過程”是 $ \theta_t:=-\sigma t $ . 因此，以下過程是存量測度下的布朗運動： $$ W^\mathcal{S}_t=W^\mathcal{Q}_t-\sigma t $$
這意味著在這一新措施下股票的漂移增加了 $ \sigma^2 $ . 我們可以利用方程 $ (4) $ 但這次是標準正態變數 $ Z’ $ , $ Y’ $ 和 $ X’ $ 在庫存量度下 $ \mathcal{S} $ : $$ \begin{align} 1_{{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}} &=1_{\left{Z’\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},
X’\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right}} \ &=1_{\left{Z’\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},
X’\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right}} \end{align} $$ 那是： $$ \begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) = \[6pt] \tag{3.c} & \quad e^{r(T-t)}S_t \Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align} $$ 定義： $$ \begin{align} d_1 & := \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \ d_1^\star & := \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}} \[12pt] d_2 & := d_1-\sigma\sqrt{T-t} \[18pt] d_2^\star & := d_1^\star-\sigma\sqrt{T-t} \end{align} $$ 然後結合方程 $ (1) $ , $ (3.a) $ , $ (3.b) $ 和 $ (3.c) $ ，我們得到想要的結果： $$ O_t=S_t\Phi_\rho\left(d_1^\star,d_1\right)-e^{-r(T-t)} K\Phi_\rho\left(d_2^\star,d_2\right)-e^{-r(t_e-t)}P\Phi(d_2^\star) \quad \square $$如您所見，它與看漲期權的 Black-Scholes 方程非常相似：
- 估值公式第三項為 $ O_t $ 相當於布萊克-斯科爾斯公式中的第二項，即折扣罷工 $ P $ 乘以期權的期權將被行使的機率；
- 前兩項結合起來看起來非常接近看漲期權的 Black-Scholes 值：這是意料之中的，因為期權是寫在看漲期權上的。然而，機率 $ \Phi_\rho(d_1^\star,d_1) $ 和 $ \Phi_\rho(d_2^\star,d_2) $ 考慮股票價格的價值 $ t_e $ 和 $ T $ . 這是因為當您進入普通看漲期權時，您知道交易日的股票價格 $ t $ 但沒有到期 $ T $ . 在這種情況下，您將在以後輸入該選項 $ t_e>t $ ，因此您在開始時也不知道標的資產的價值 $ t_e $ 也沒有到期 $ T $ ：這種增加的不確定性被雙變數正態分佈擷取。