Bates SVJ 模型中的期權價格？

在這篇 [文章] 中，討論了赫斯頓隨機波動率模型下的歐洲看跌期權和看漲期權價格公式。

赫斯頓模型存在一個重要的擴展，包括擴散跳躍，稱為貝茨隨機波動率跳躍 (SVJ) 模型，如本文所述。

SVJ模型中的期權價格公式是什麼？

Bates 模型由隨機微分方程的二元系統表示

$$ \begin{align} &dS_t=(r-q)S_tdt+\sqrt{v_t}S_tdW_1(t)+S_tdN_t\ &dv_t=\kappa(\theta-v_t)dt+\sigma\sqrt{v_t}dW_2(t)\ \end{align} $$ 在哪裡 $$ \mathbb{E^Q}[dW_1(t)dW_2(t)]=\rho dt $$ 和 $ N_t $ 是具有強度的複合Poisson過程 $ \lambda $ 和獨立跳躍 $ J $ 和 $$ \ln{(1+J)}\tilde{~} N\left(\ln(1+\beta)-\frac{1}{2}\alpha^2,, ,,,\alpha^2\right) $$ 參數 $ \beta $ 和 $ {\alpha} $ 確定跳躍的分佈，假設Poisson過程獨立於維納過程。通過應用 delta-hedging 論點，我們有 $$ \frac{\partial U}{\partial t}+\frac{1}{2}{{v}{t}}{{S}{t}}^{2}\frac{{{\partial }^{2}}U}{\partial {{S}^{2}}}+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{v}{t}}\frac{{{\partial }^{2}}U}{\partial {{v}^{2}}}+\rho \sigma ,{{v}{t}}{{S}{t}}\frac{{{\partial }^{2}}U}{\partial S \partial v}+,(r-q-\lambda,\bar{k}){{S}{t}}\frac{\partial U}{\partial S}+\kappa (\theta -{{v}{t}}),\frac{\partial U}{\partial v}-rU+I_U=0,,,(1) $$ 在哪裡 $$ I_U=\lambda\int{0}^{\infty}[U(S\xi,v,t)-U(S,v,t)],g(\xi),d\xi $$ $$ g(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\alpha\xi}e^{-\frac{1}{2\alpha^2}(\ln{\xi-m})^2} $$ $$ m=\ln(1+\beta)-\frac{1}{2\alpha^2} $$ $$ \bar{k}=e^{\frac{1}{2}\alpha^2+m}-1 $$ 應該注意的是，對於普通期權收益的封閉形式的解決方案確實存在，但 PIDE (1) 很容易用數值方法近似。

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封閉式解決方案

我為 emcor 編輯了我的答案。

1. 動態 $ S_t $ 在歷史尺度下 $$ \begin{align} &\frac{dS_t}{S_t}=(\mu-\lambda,\bar{J})dt+\sqrt{v_t}dW_1(t)+J,dN(t)\ &\hspace{0.3cm}dv_t=\kappa(\theta-v_t)dt+\sigma\sqrt{v_t}dW_2(t),\ \end{align} $$ 在哪裡 $$ \mathbb{E^P}[dW_1(t)dW_2(t)]=\rho dt, $$ $ N_t $ 是具有強度的複合Poisson過程 $ \lambda $ 和獨立跳躍 $ J $ 和 $$ \ln{(1+J)}\tilde{~} N\left(\ln(1+\bar{J})-\frac{1}{2}\alpha^2,, ,,,\alpha^2\right). $$ 參數 $ \bar{J} $ 和 $ {\alpha} $ 確定跳躍的分佈，並且假定Poisson過程獨立於維納過程。
2. 改變措施： $ \mathbb{P\rightarrow Q} $ $$ \begin{align} &\frac{dS_t}{S_t}=(r-q-\lambda^,\bar{J^})dt+\sqrt{v_t}dW_1^{\mathbb{Q}}(t)+J^,dN^(t)\ &\hspace{0.3cm}dv_t=\kappa^(\theta^-v_t)dt+\sigma\sqrt{v_t}dW_2^{\mathbb{Q}}(t),\ \end{align} $$ 在哪裡 $$ \mathbb{E^Q}[dW_1^{\mathbb{Q}}(t)dW_2^{\mathbb{Q}}(t)]=\rho dt $$ $$ \kappa^=\kappa +\xi $$ $$ \hspace{0.3cm}\theta^=\frac{\kappa\theta}{\kappa+\xi}, $$ 這樣 $ \xi $ 是波動率市場價格和 $$ J^=J+J,\mathbb{E^P}\left[\frac{\Delta J_w}{J_w}\right] $$ $$ \bar{J}^=\bar{J}+\frac{\mathbb{Cov}\left(J,\frac{\Delta J_w}{J_w}\right)}{1+\mathbb{E^P}\left[\frac{\Delta J_w}{J_w}\right]}. $$ 在哪裡 $ \frac{\Delta J_w}{J_w} $ 是隨機百分比跳躍，以跳躍發生為條件，並且 $ \frac{dJ_w}{J_w} $ 是沒有跳躍時的百分比衝擊。
3. 請注意，當 $ \xi=0 $ 我們有 $ \kappa^=\kappa $ 和 $ \theta^=\theta $ . 我們設置 $ \xi=0 $ ，因為當我們估計期權價格的風險中性參數時，我們不需要估計 $ \xi $ . 還有，當 $ \Delta J_w/J_w\rightarrow0 $ 因此我們有 $ J^=J $ 和 $ \bar{J}^=\bar{J}. $
4. 讓 $ x_t=\ln S_t $ 然後 $$ \begin{align} C(t,,{{S}{t}},{{v}{t}},J,K,T)={{S}{t}}{{P}{1}}-K,{{e}^{-r\tau }}{{P}{2}} \end{align} $$ 哪裡，對於 $ j=1,2 $ $$ \begin{align} & {{P}{j}}({{x}{t}},,,{{v}{t}},;,,{{x}{T}},\ln K)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\int\limits{0}^{\infty }{\operatorname{Re}\left( \frac{{{e}^{-i\phi \ln K}}{{f}{j}}(\phi ;t,x,v)}{i\phi } \right)},d\phi \ &\ &\hspace{1.9cm}{{f}{j}}(\phi ;{{v}{t}},{{x}{t}})=\exp\left[{{C}{j}}(\tau ,\phi) +{{D}{j}}(\tau ,\phi ){{v}{t}}+i\phi{{x}{t}}+{{\Xi }{j}}\right]\ &\ &\hspace{3.8cm}\Xi_j={{\lambda }^{}}\tau,{{(1+{{\kappa }^{}})}^{{{u}{j}}+\frac{1}{2}}}\left[ {{(1+{{\kappa }^{}})}^{\phi }}{{e}^{{{\alpha }^{2}}({{u}_{j}}\phi +0.5{{\phi }^{2}})}}-1 \right],\ \end{align} $$ 這樣 $$ \begin{align} &C_j(\tau ,\phi)=(r-q-\lambda^\bar{\kappa}^)\phi,\tau-\frac{\kappa^\theta^,\tau}{\sigma^2}(\rho\sigma\phi-\beta_j-\gamma_j)-\frac{2\kappa^\theta^,\tau}{\sigma^2}\ln\left(1+\frac{1}{2}(\rho\sigma\phi-\beta_j-\gamma_j)\frac{1-e^{\gamma_j\tau}}{\gamma_j}\right)\ &\ &D_j(\tau ,\phi)=\frac{-2(u_j\phi+\frac{1}{2}\phi^2)}{\rho\sigma\phi-\beta_j+\gamma_j\frac{1+e^{1-\gamma_j\tau}}{1-e^{1-\gamma_j\tau}}}\ &\ &\hspace{1.1cm}\gamma_j=\sqrt{(\rho\sigma\phi-\beta_j)^2-2\sigma^2(u_j\phi+0.5\phi^2)}\ \end{align} $$ 和 $$ u_1=\frac{1}{2},,u_2=-\frac{1}{2},,\beta_1=\kappa^-\rho\sigma,,\beta_2=\kappa^*, $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/19185