應用 Feynman Kac 時的其他參數選擇
我看到的關於費曼卡茨公式的所有書籍和筆記都主要應用於風險中性度量，即不同的利率模型、隨機波動率等。我認為風險中性度量可以用與交易計價相關的任何其他度量來代替 $ N(t) $ 這樣
$$ \frac{V(t)}{N(t)}=\mathbb{E}_t^N\left[\frac{V(T)}{N(T)}\right] $$ 所以我想到的是年金衡量和掉期價格或遠期衡量和上限價格。但是，我找不到關於這些 PDE 的任何參考資料。有人可以向我指出一些參考資料或提供不同的測量範例以及在這種情況下如何得出 PDE。如果該範例是“實際應用”範例並且可以在實踐中對金融工具進行定價，則它將特別有用。
假設你
- 擁有一個（或一組）描述資產動態的 SDE $ X $ ， 和 $ t $ -價值 $ X_t $ ;
- 定義 $ V $ 作為取決於資產的債權 $ X $ ， 和 $ t $ -價值 $ V_t $ ;
- 定義 $ N $ 作為可能但不一定取決於資產的債權 $ X $ ， 和 $ t $ -價值 $ N_t $ ;
- 定義機率測度 $ \mathbb{Q}^N $ 與資產相關聯 $ N $ 這樣 $$ \frac{V_t}{N_t}=\mathbb{E}_t^{\mathbb{Q}^N}\left[\frac{V_T}{N_T}\right] $$ 因此 $ N $ 被視為現金。
然後定價 PDE直接遵循您剛剛定義的度量：只需使用 Ito 引理強加該過程 $ V_t/N_t $ 應該是一個 $ \mathbb{Q}^N $ -馬丁格爾（馬丁格爾表示定理）。通常，對於簡單的擴散過程，這意味著寫入有限變化部分（漂移）應該為零（*）。
$$ Example $$
讓 $ t $ - 標的資產的價值 $ X $ 由以下 SDE（擴散）驅動
$$ dX_t = \mu(t,X_t) dt + \sigma(t,X_t) dW_t^{\mathbb{Q}^B} $$ 並考慮以下或有債權
- $ V_t = V(t,X_t) $
- $ N_t = N(t) = B_t $ 和 $ dB_t = B_t r dt $
挑選 $ N $ 作為一個標準，從而引入定價措施 $ \mathbb{Q}^B $ 這樣
$$ \frac{V_t}{B_t}=\mathbb{E}t^{\mathbb{Q}^B}\left[\frac{V_T}{B_T}\right] $$ 我們得到，應用（雙變數）伊藤引理： $$ \begin{align} d\left( \frac{V_t}{B_t} \right) &= \frac{1}{B_t} dV_t - \frac{V_t}{B_t^2} dB_t + \frac{1}{2}(0)d\langle V \rangle_t + \frac{1}{2}\frac{2V}{B_t^3}\underbrace{d\langle B \rangle_t}{=0} - \frac{1}{B_t^2} \underbrace{d\langle V, B \rangle_t}{=0} \ &= \frac{1}{B_t} \left( \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{\partial V}{\partial X} dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial X^2} \underbrace{d\langle X \rangle_t}{=\sigma^2(t,X_t)dt} - r V dt \right) \ &= \underbrace{\frac{1}{B_t} \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial X} \mu(t,X_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial X^2} \sigma^2(t,X_t) - r V \right) dt}_{=\text{Finite Variation Part}} + \frac{1}{B_t} \frac{\partial V}{\partial X} \sigma(t,X_t) dW_t^{\mathbb{Q}^B} \end{align} $$ 並將有限變化部分設置為零給出眾所周知的定價 PDE： $$ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial X} \mu(t,X_t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial X^2} \sigma^2(t,X_t) - r V = 0 $$
通常，我們會更改計算標準（例如，從傳統的風險中性衡量 $ \mathbb{Q}^B $ 標的資產相關措施 $ \mathbb{Q}^S $ ) 為了數學上的方便：有時在不同的機率度量下更容易推導出封閉形式的表達式。
就您而言，我沒有直接看到採用您提到的措施的好處。所以確實有可能，但這樣做可能沒有意義，這可以解釋缺乏關於該主題的論文。
() 如果您改為假設jump-diffusion*，請小心，因為需要補償跳躍過程才能以馬丁格爾的形式出現。你可以看一下這裡，Gordon 用一個非常好的和徹底的回答討論了這個問題。