路徑依賴期權估值
假設我們有一個無套利且完整的市場。可獲得衍生品的無套利價格的眾所周知的公式 $ X $ 有時 $ 0 \leq t \leq T $ 是（誰）給的： $$ \begin{align*} V(t)=e^{-r(T-t)}E_Q(X \vert {\cal F}_t) \end{align*} $$ 在哪裡 $ r $ 是無風險利率和 $ E_Q $ 是風險中性測度下的期望值。
據我了解，給定一個帶收益的路徑無關導數 $ \Psi(S(T)) $ 對於某些功能 $ \Psi $ ，我們可以通過評估來計算無套利價格 $ E_Q(\Psi(S(T))\vert {\cal F}_t) $ 正確的 ？例如，對於歐洲電話，我們有 $ \Psi(S(T))=\max(S(T)-K;0) $ ， 在哪裡 $ S(T) $ 是當時的股價 $ T $ 和 $ K $ 是執行價格。
現在我想知道這個公式是否也適用於依賴路徑的選項。例如，如果我想計算有回報的固定執行亞洲看漲期權的無套利價格 $ \max(A(S)-K;0) $ ， 在哪裡 $ A(S) $ 是某種平均值，我可以計算一下嗎 $$ \begin{align*} V(t)=e^{-r(T-t)}E_Q(\max(A(S)-K;0)\vert {\cal F}_t) \end{align*} $$ ?
風險中性定價
一時間—— $ T $ payoff 是可積的， $ \mathcal{F}_T $ - 可測量的隨機變數 $ \xi $ . 貼現收益的價值過程是 $ \mathbb{Q} $ - 鞅，即， $$ \begin{align*} V_t=\mathbb{E}^\mathbb{Q}_t\left[\frac{B_t}{B_T}\xi\right], \end{align*} $$ 在哪裡 $ B_t $ 是本地無風險銀行賬戶（ $ \text{d}B_t=r_tB_t\text{d}t $ ).
- 上述結果本質上遵循以下定義 $ \mathbb{Q} $ 並且事實上 $ M_t=\mathbb{E}_t $ 是鞅，如果 $ X $ 是可積的（由於塔定律）。
- 如果 $ r_t\equiv r $ 是恆定的，我們有 $ B_t=e^{rt} $ 和 $ V_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^\mathbb{Q}_t\left[\xi\right] $ .
它有效嗎？是的！
唯一的要求是 $ \xi $ 在成熟時是已知的（可觀察的，可測量的） $ T $ . 沒有要求 $ \xi $ 需要是路徑無關的。因此， $ \xi $ 確實可以是適用於（歐式）亞洲期權的平均和標準風險中性定價，即 $ \xi=\max{A-K,0} $ 被允許！無論您在這裡考慮算術平均值還是幾何平均值，或者您是否使用平均值作為執行價格，都沒有區別。風險中性定價也適用於其他依賴路徑的奇異期權，例如（歐式）障礙期權。
事實上，亞洲期權的半封閉式數值方法明確依賴於這種風險中性定價框架。
我們還得到了一些簡單的結果： 身份 $ \max{x-K,0}-\max{K-x,0}=x-K $ 給出亞洲期權的看跌期權平價。
問題出在哪裡？
唯一的問題是計算期權收益的第一時刻非常困難。大多數情況下，我們對算術亞洲期權感興趣，但我們傾向於以指數形式對股票價格進行建模。這使得封閉形式的解決方案非常罕見。本質上，平均分佈 $ \int_t^T S_u\text{d}u $ 並不以合理的股價模型而聞名。對於幾何平均值，情況要好一些。
美式期權
風險中性定價公式不適用於早期行使特徵（例如，美式看跌期權）。它們的價格與超鞅的Snell 信封有關，請參閱此答案。因此，它們的價格可以分解為歐式期權（鞅）和早期行使修正項（Riesz 分解或 Doob-Meyer 分解）。這些早期鍛煉功能的數學計算更加困難。顯然，為美式亞洲期權定價是一項非常艱鉅的任務（我會選擇 MC 模擬）……