可以使用擴散方程對具有非零邊界條件的衍生品進行定價嗎？
Black-Scholes 可以轉化為熱方程的原因之一是看漲期權和看跌期權的或有收益的邊界條件為零。
定義呼叫的終端支付條件， $ C_T $ ，並把， $ P_T $ ， 作為：
$ C_T = max(0, S_T-K) $
$ P_T = max(0, K-S_T) $
但是，如果或有收益不以零為界怎麼辦。例如，如果下邊界條件被任意定義為 $ -K $ ? 這種情況的預期值將如下所示：
$$ E[V_t] = E[Max(-K,S_T - K)] $$ 是否可以對非零邊界條件使用（熱）擴散方程的一些變化？
預期的案例是對現金流不具有與傳統金融期權相同的方便定義的邊界條件的公司負債進行估值。這背後的經濟直覺是模擬一家理性的公司，該公司可能會繼續虧損經營，直到它行使終止經營的選擇權，以免損失超過其間接費用，這裡表示為 $ K $ .
無論如何，我可以通過使用卷積方法和快速傅里葉變換來強制期望值，但這些方法的計算成本很高。轉換為封閉形式的解決方案會更有效率。
先感謝您。
假設你的意思 $ P_t=S_T $ ，即您在風險中性度量下定價 $ \mathbb{Q} $ 並引入折扣因子 $ e^{-\int_0^T{r(t)dt}} $ , 你的方程可以改寫 $ - $ 在哪裡 $ {\mathcal{F}n}{n\geq0} $ 是適當的過濾：
$$ \begin{align} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[V_T|\mathcal{F}_0\right]=\mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[V_T\right]&=\mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^T{r(t)dt}}\max(-K,S_T-K)\right] \[12pt] &=\mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^T{r(t)dt}}\left(\max(0,S_T)-K\right)\right] \[12pt] &=\mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^T{r(t)dt}}\max(0,S_T)\right]-KP(0,T) \[12pt] &=\mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^T{r(t)dt}}S_T\right]-KP(0,T) \[12pt] &=S_0-KP(0,T) \end{align} $$ 在哪裡 $ P(0,T) $ 是零息票到期債券的價格 $ T $ $ - $ 根據定義等於：
$$ P(0,T) = \mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^T{r(t)dt}}\right] $$
如果現在您有兩個不同的值 $ K_1 \not= K_2 $ :
$$ \mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[V_T\right]=\mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^T{r(t)dt}}\max(-K_1,S_T-K_2)\right] $$ 使用上面的等效參數，可以重寫該值：
$$ \mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[V_T\right]=\mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^T{r(t)dt}}\max(0,S_T-(K_2-K_1))\right]-K_1P(0,T) $$ 第二個風險中性預期就是歐式看漲期權的價格 $ K_2-K_1 $ 因此您可以使用標準公式對其進行定價。
如果您現在在“罷工”中引入時間依賴性 $ K $ $ - $ 正如您在下面的評論之一 $ - $ ，我們得到：
$$ \begin{align} \mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[V_T\right]&=\mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^T{r(t)dt}}\max(-K_T,S_T-K_T)\right] \[12pt] &=\mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^T{r(t)dt}}\max(0,S_T)\right]-\mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^T{r(t)dt}}K_T\right] \[12pt] &=S_0-\mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^T{r(t)dt}}K_T\right] \end{align} $$ 這裡的價格和計算的複雜性將取決於動態 $ K_t $ ，但在 Black-Scholes 世界中，假設幾何布朗運動擴散過程為 $ K_t $ 並且該資產是可交易的，我們簡單地得到：
$$ \mathbb{E}_0^{\mathbb{Q}}\left[V_T\right]=S_0-K_0 $$ 因為在風險中性度量下任何可交易資產的折現價格都是鞅。
要點是，如果不存在封閉形式，解決方案的複雜性和所需的數值技術取決於您指定的設置 $ - $ 即你的資產的擴散方程，利率過程的規範等。在布萊克-斯科爾斯框架中，上述衍生品的價格很容易推導出來。