潛在的套利利潤或證明問題
所以問題就問：考慮 4 個到期時間相同的歐式看漲和看跌期權：
- 具有執行價格的看漲期權 $ 100 $ 賣 $ 45 $
- 具有執行價格的看漲期權 $ 110 $ 賣 $ 40 $
- 行使價看跌期權 $ 100 $ 賣 $ 36 $
- 行使價看跌期權 $ 110 $ 賣 $ 42 $
給定連續複利 r = 0.05 和到期時間 T = 1。你可以使用表中的一些選項和銀行賬戶來選擇一個投資組合來找到套利利潤嗎？如果是，請具體說明您的套利投資組合。如果不是，請證明你的論點。
到目前為止，我得到了：
首先考慮看跌期權平價：
所以市場跟隨
$ C^E − P^E = S(0) − X^{e^{−rT}} $
如果沒有任意利潤。
如果 $ C^E − P^E> S(0) − X^{e^{−rT}} $
在這種情況下，可以按如下方式建構套利策略： 在時間 0
• 以 S(0) 買入一股；
• 買入一份看跌期權 $ P^E $ ;
• 賣出一份看漲期權 $ C^E $ ;
• 投資總和 $ C^E−P^E−S(0) $ （或借，如果為負數）以利率 r 在貨幣市場上。
這些交易的餘額為 0。那麼，在時間 T
• 平倉貨幣市場頭寸，收取（或支付，如果為負數）金額 $ (C^E − P^E − S(0))e^{rT} $ ;
• 在 S(T) ≤ X 時通過執行看跌期權或在 S(T) > X 時結算看漲期權中的空頭頭寸，以 X 的價格出售股票。
餘額將是 $ (C^E − P^E − S(0))e^{rT} + X > 0 $
如果 $ C^E − P^E < S(0) − X^{e^{−rT}} $
在時間 0 • 為 S(0) 賣空一股；
• 賣出看跌期權 $ P^E $ ;
• 購買一份看漲期權 $ C^E $ ;
• 投資總和 $ S(0)−C^E+P^E $ （或借，如果為負數）以利率 r 在貨幣市場上。
這些交易的餘額為 0。在時間 T
• 平倉貨幣市場頭寸，收取（或支付，如果為負數）金額 $ (S(0) − C^E + P^E)e^{rT} $ ;
• 通過在S(T) > X 時執行看漲或在S(T) ≤ X 時結算看跌期權的空頭頭寸來購買X 股，然後平倉股票空頭頭寸。
餘額將是 $ (S(0) − C^E + P^E)e^{rT} − X $ > 0
但是我如何在不知道目前股價的 S(0) 的情況下找到特定的任意利潤？或者，如果沒有目前股價，如何證明不存在套利利潤？
更新：
在時間 0：
• 以 S(0) 的行使價 110 賣出一股；
• 以行使價100 賣出PX 看跌期權；
• 購買一份執行價格為100 的CE 看漲期權；
• 投資總和 $ S(0)−C^E+P^X $
• 以 S(0) 的行權價 110 買入一股；
• 買入一份看跌期權 $ P^E $ 行使價100；
• 賣出一份看漲期權 $ C^X $ 行使價110；
• 投資總和 $ C^X−P^E−S(0) $ 在利率為 r 的貨幣市場上。
• 投資餘額 $ ( C^E−P^X ) –( C^X-P^E ) $ 在利率為 r 的貨幣市場上。
這些交易的餘額為 0。在時間 T：
如果在時間 t ≤ T 行使，
• 借入股票並將其出售給 X 以履行作為看漲期權賣方的義務
• 投資 X 以購買選項 E。
• 以r 率投資E
• 在時間 T，使用看漲期權為 E 購買股票並平倉您的股票空頭頭寸。套利利潤為 ( $ (C^E−P^X) – (C^X-P^E))e^{rT} +(X-E)e^{r(T−t)} –(X –E)>0 $ .
如果根本不鍛煉
• 關閉股票空頭頭寸，
• 最終獲得期權和套利利潤 $ [(C^E−P^X)−(C^X-P^E)] e^{rT} > 0 $ .
這個問題有兩個執行價格 $ E=100 $ 和 $ X=110 $ . PCP 條件為 $ C^E − P^E = S(0) − E^{e^{−rT}} $ 和 $ C^X − P^X = S(0) − X^{e^{−rT}} $ . 從第一個方程中減去第二個方程，我們得到 $ C^E − P^E -C^X + P^X= (X-E)^{e^{−rT}} $ . 這擺脫了未知的 S(0) 項。
讓我們用數字來評估右手邊：
$ C^E − P^E -C^X + P^X = 10 e^{-0.05}= 9.5 $
所以理論上這個期權組合（多頭 100 看漲期權和 110 看跌期權，空頭 100 看跌期權和 110 看漲期權）應該價值 9.5
在市場上雖然它的交易價格是 45-36-40+42 = 11。所以它被高估了，需要以 1.5 的套利利潤出售