股票平方的權力期權和遠期
短篇小說：股票價格平方的過程在風險中性度量下被貨幣市場計價折現時不是鞅。那麼我們如何計算衍生品價格 $ S_t^2 $ 在風險中性措施下？這不會導致套利嗎？
長話短說：我發現了一些關於電源選項的好文章，例如Find price of the power option。雖然數學很清楚，但我仍然對這個概念有些困惑：從股票價格平方的簡單期權開始，我不完全理解如何在正常 BS 框架內對可選索賠進行定價，當價格過程為 $ S_t^2=S_0^2exp((2r-\sigma^2)t+2\sigma W_t) $ 折現時不是鞅 $ e^{rt} $ 在風險中性貨幣市場計價法下。
我考慮一個零利率的單期模型。正如文章中概述的那樣，什麼是風險中性措施？，在單期模型中，風險中性度量源於模型中沒有套利假設。我們假設最初，股票價格為 $ S_0 $ 一段時間後，它可以是 $ S_u=S_0u $ 或者 $ S_d=S_0d $ ， 和 $ u $ 和 $ d $ 是一些乘法因素。具有償付功能的衍生債權定價 $ V(.) $ 在標的股票上 $ S_t $ 通過複製產生：
$$ V_0 = \left(V(S_u) \left( \frac{1 -d}{u-d} \right) + V(S_d) \left(\frac{u-1}{u-d} \right) \right) $$
氣勢磅礴 $ u \leq 1 \leq d $ 將確保在一期模型中沒有套利。此外，由於條件 $ u \leq 1 \leq d $ ，我們明白了 $ 0 \leq \frac{1 -d}{u-d} \leq 1 $ 和 $ 0 \leq \frac{u-1}{u-d} \leq 1 $ . 因此，我們可以定義 $ p_u:=\frac{1 -d}{u-d} $ , $ p_d:=\frac{u-1}{u-d} $ 我們可以打電話 $ p_u $ 和 $ p_d $ “機率”：確實，在一期模型中， $ p_u $ & $ p_d $ 形成離散（風險中性）機率測度。
現在，有趣的一點是，為索賠定價 $ V(.) $ 上 $ S_t^2 $ 通過單週期模型中的複制實際上導致了不同的機率測度：
(i) 上層狀態： $ S_{t_1}^2=S_0^2u^2 $ , 表示無風險債券為 $ B $ 我們有 $ B_{t_1}=B_{t_0}=1 $ 因為利率為零，期權收益為 $ V_u=V((S_0u)^2)=[S_0^2u^2-K]^+ $ .
(ii) 低級狀態： $ S_{t_1}^2=S_0^2d^2 $ , $ B_{t_1}=B_{t_0}=1 $ , $ V_d=V((S_0d)^2)=[S_0^2d^2-K]^+ $ .
試圖複製回報 $ V(S_{t_1}^2) $ 在這兩個州，通過標的股票和無風險債券，我們得到兩個具有兩個未知數的方程（x = 股票數量，y = 我想持有的債券數量以複製期權收益）：
$$ (i) V_u=xS_0^2u^2+y1 $$
$$ (ii) V_d=xS_0^2d^2+y1 $$
求解方程組產生：
$$ x=\frac{V_u-V_d}{S_0^2(u^2-d^2)}, y=\frac{u^2V_d-d^2V_u}{u^2-d^2} $$
然後給出索賠價格（經過一些基本的代數簡化）：
$$ V_0=xS_0^2+y1=V_u*\frac{1-d^2}{u^2-d^2}+V_d\frac{u^2-1}{u^2-d^2} $$
環境 $ p_u^:=\frac{1-d^2}{u^2-d^2} $ 和 $ p_d^:=\frac{u^2-1}{u^2-d^2} $ , 上式可改寫為：
$$ V_0=V_up_u^+V_dp_d^=\mathbb{E}^{Q_2}[V_{t_1}] $$
換句話說，複製論點產生了一些新的機率測度，其中 $ p_u^=\frac{1-d^2}{u^2-d^2}\neq p_u=\frac{1-d}{u-d} $ 和 $ p_d^=\frac{u^2-1}{u^2-d^2}\neq p_d=\frac{1-d}{u-d} $ .
相反，我們實際上有 $ p_u^=p_u \frac{1+d}{u+d} $ 和 $ p_d^=p_d \frac{1+u}{u+d} $ .
問題：那麼回到起點，考慮尋找電力期權的價格，我們為什麼可以在 BS 經典風險中性度量下為電力期權定價？這相當於說在一個時期模型（利率為零）下，索賠的價格 $ V(S^2_t) $ 可以計算為 $ V_0=\mathbb{E}^Q[V_t(S_t^2)]=p_uV_u(S_t^2) + p_dV_d(S_t^2) $ ，這不會產生正確的結果（實際上，在上面我們得到了 $ V_0=\mathbb{E}^{Q_2}[V_t(S_t^2)]=p_u^*V_u(S_t^2) + p_d^*V_d(S_t^2) $ ).
考慮一個具有過濾機率空間的金融市場 $ \left(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t),\mathbb P\right) $ 滿足通常條件的股票價格過程 $ S_t $ . 假設存在一個無風險資產，它由 $ \mathrm{d}B_t=r_tB_t\mathrm{d}t $ .
假設市場沒有套利，即存在機率測度 $ \mathbb Q\sim\mathbb P $ 這樣$$ \mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{S_{t}}{B_{t}}\Bigg|\mathcal{F}_s\right]=\frac{S_s}{B_s} $$為了 $ s\leq t $ .
讓 $ \xi $ 是一個可積且 $ \mathcal{F}_T $ -代表時間的可測量隨機變數- $ T $ 支付一些索賠（契約）。它通常是終端股票價格的函式 $ S_T $ . 什麼是公平（即無套利）時間？ $ t $ 這種索賠的價格？讓我們研究以下價值（或價格）過程 $$ V_t=B_t\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi}{B_T}\bigg|\mathcal{F}_t\right]. $$如此直覺，合約的公平價格 $ \xi $ 等於用 numéraire ( $ B_t $ ）。當然， $ V_T=\xi $ ， 因此 $ V_t $ 複製回報 $ \xi $ . 如果利率是確定性的，我們可以拉 $ B_T $ 出乎意料。
折現值過程， $ \frac{V_t}{B_t} $ , 是一個 $ \mathbb{Q} $ - 按構造的鞅。緊隨其後的是塔法。我們只是注意到$$ \mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{V_t}{B_t}\bigg|\mathcal{F}_s\right]=\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi}{B_T}\bigg|\mathcal{F}_t\right]\bigg|\mathcal{F}_s\right]=\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi}{B_T}\bigg|\mathcal{F}_s\right]=\frac{V_s}{B_s}. $$一般來說，如果 $ X $ 是一個可積的隨機變數，那麼 $ M_t=\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_t] $ 是鞅。
現在的問題是：增廣市場（包括股票、債券和價值過程）由貼現值為鞅的資產組成。因此，通過使用第一個 FTAP，我們知道市場仍然沒有套利和 $ V_t $ 是一種複制方式 $ \xi $ 不創造套利機會。
如果存在一個完美的對沖 $ \xi $ （這是自籌資金），那麼 $ V_t $ 每個時間點都與這個完美對沖的價格相同 $ t\leq T $ （一價定律）。因此，價值過程實際上獨立於可複制收益的等效鞅度量（如果存在多個）（順便說一下，這指向第二個 FTAP）。事實上，對於每一個等價的鞅測度 $ \mathbb Q $ ， 地圖 $ \xi\mapsto B_t\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi}{B_T}\bigg|\mathcal{F}_t\right] $ 定義了一個線性定價函式。
範例：為資產定價 $ \xi=S_T^2 $ 在恆定利率和幾何布朗運動動力學（無股息）下。答案很簡單 $$ V_t=B_t\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\xi}{B_T}\bigg|\mathcal{F}_t\right]=S_t^2e^{(r+\sigma^2)(T-t)}. $$此計算的詳細資訊在評論中。這個公式很直覺：在改變計價器之後， $ V_t $ 只是股票價格以漂移率增長的股票度量下股票價格的期望值 $ r+\sigma^2 $ . 重要的是，這個價格取決於型號。標準的預付款 $ S_T $ 是與模型無關的（並且遵循等效鞅測度的定義）。此外，支付電力索賠的價格 $ S_T^2 $ 不僅是delta one，而且具有波動性風險。
在一個時期的二項式設置中，股票從 $ S_0 $ 要麼 $ S_0u $ 或者 $ S_0d $ . 對沖投資組合投資 $ \Delta $ 在股票和 $ M $ 在債券中，即 $ \Pi_0=\Delta S_0+MB $ 和 $ \Pi_T=\Delta S_T+M $ （在你的符號中， $ x=\Delta $ 和 $ y=M $ ）。你試圖複製一個普遍的回報 $ V $ . 然後，解決 $$ \begin{align*} \begin{cases} V_u = S_u\Delta+M, \ V_d = S_d\Delta+M. \end{cases} \end{align*} $$ 求解該系統會導致 delta 對沖的離散模擬： $$ \begin{align*} \Delta &= \frac{V_u-V_d}{S_u-S_d}, \ M &= \frac{uV_u+dV_d}{u-d}. \end{align*} $$ 因此， $$ \Pi_0=\Delta S_0+MB=\frac{V_u-V_d}{S_u-S_d}S_0+\frac{uV_u+dV_d}{u-d}B=\frac{1-Bd}{u-d}V_u+\frac{Bu-1}{u-d}V_d. $$ 你看，機率與收益無關 $ V_u $ 和 $ V_d $ . 現在，只需設置 $ V_u=S_0^2u^2 $ 和 $ V_d=S_0^2d^2 $ 你就完成了。