有回報的期權定價(1−ķ小號噸)+(1−ķ小號噸)+left(1-frac{K}{S_t}right)^{+}
讓 $ S_t=S_0 \exp\left{rt+0.5\sigma^2t+\sigma W_t\right} $ 是貨幣市場計價條件下股票價格的常用 GBM 模型。
假設我們要為到期時有收益的期權定價： $ C_T=(1-\frac{K}{S_T})^{+} $
使用基本定理，我們有：
$$ C_0=e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\left(1-\frac{K}{S_T}\right)\mathbb{I}{S_T>K}\right]=e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\mathbb{I}{S_T>K}-\frac{K}{S_T}\mathbb{I}{S_T>K}\right]=\=e^{-rt}N(d_2)-e^{-rT}K\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\frac{\mathbb{I}{S_T>K}}{S_T}\right]=\=e^{-rT}N(d_2)-e^{-rT}K\int_{K}^{\infty}\left(\frac{1}{h}f_{S_T}(h)\right)dh=\=e^{-rT}N(d_2)-e^{-rT}K\int_{K}^{\infty}\left(\frac{1} {h^2 \sqrt{t}\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left{{-\frac{(\ln(h/S_0)-(r-0.5\sigma^2)t)^2}{2\sigma^2t}}\right}\right)dh $$
問題1：現在有沒有一種簡單的方法可以分析地解決上述問題？
問題 2：有沒有更聰明的方法來為這種類型的期權定價，即通過不同的 Numeraire 或類似的方式？
非常感謝您的任何提示，
編輯：為了完整起見，我在這裡找到了這個問題的提示，這導致了解決定價問題的另一種方法。使用該提示，積分項可以簡化如下：
$$ K\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\frac{1}{S_T}\mathbb{I}{S_T>K}\right]=\frac{K}{S_0}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\frac{S_0}{S_T}\mathbb{I}{S_T>K}\right]=\=\frac{K}{S_0}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\exp\left{-rT+0.5\sigma^2T-\sigma W_T\right}\mathbb{I}{S_T>K}\right]=\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+0.5\sigma^2T}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\exp\left{-\sigma W_T\right}\mathbb{I}{S_T>K}\right]=\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+0.5\sigma^2T}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\exp\left{-\sigma \sqrt{T}Z\right}\mathbb{I}{Z>-d_2}\right]=\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+0.5\sigma^2T}\int{-d2}^{\infty}\left(\exp\left{-\sigma \sqrt{T}h\right}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left{\frac{-h^2}{2}\right}\right)dh=\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+0.5\sigma^2T}\int_{-d2}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left{\frac{-h^2-2\sqrt{T}\sigma+\sigma^2T - \sigma^2T }{2}\right}\right)dh=\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+\sigma^2T}\int_{-d2}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left{\frac{-(h+\sigma \sqrt{T})^2}{2}\right}\right)dh=\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+\sigma^2T}\mathbb{P}\left(Z-\sigma\sqrt{T}>-d2\right)=\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+\sigma^2T}\mathbb{P}\left(Z<d2-\sigma\sqrt{T}\right)=\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+\sigma^2T}N(d_3) $$
所以最終的結果是：
$$ C_0=e^{-rT}N(d_2)-\frac{K}{S_0}e^{-2rT+\sigma^2T}N(d_3) $$
這與以下答案中提供的結果相同。
$ \frac{1}{S_t} $ 是對數正態的
如果 $ S_t $ 是幾何布朗運動，所以 $ \frac{1}{S_t} $ 甚至任何權力 $ S_t^\alpha $ . 只需使用 Itô 的引理並設置 $ f(t,x)=\frac{1}{x} $ , $$ \begin{align*} \mathrm{d}f(t,S_t) &= \left(0-\mu S_t\frac{1}{S_t^2}+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{2}{S_t^3}\right)\mathrm{d}t-\sigma S_t \frac{1}{S_t^2}\mathrm{d}W_t \ &=- \frac{1}{S_t}\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma^2\right)\mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W_t\right). \end{align*} $$
更簡單，你可以看到 $$ \begin{align*} S_t&=S_0\exp\left(\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t+\sigma W_t\right) \ \implies \frac{1}{S_t}&=S_0^{-1}\exp\left(-\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t-\sigma W_t\right). \end{align*} $$ 最簡單的方法可能是$$ \ln\left(\frac{1}{S_t}\right)=-\ln(S_t)\sim N\left(-\ln(S_0)-\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t,\sigma^2t \right). $$
其餘為標準
讓 $ X=e^{m+s Z} $ ， 在哪裡 $ m=-\ln(S_0)-\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T $ , $ s=\sigma\sqrt{T} $ 和 $ Z\sim N(0,1) $ . 然後， $$ \begin{align*} \mathbb{E}\left[\max\left{1-\frac{K}{S_T},0\right}\right] &= K\mathbb{E}\left[\max\left{\frac{1}{K}-X,0\right}\right] \ &= \Phi\left(-\frac{m+\ln(K)}{s}\right)-Ke^{m+0.5s^2}\Phi\left(-\frac{m+\ln(K)+s^2}{s}\right). \end{align*} $$
然後， $ e^{m+0.5s^2}= \frac{1}{S_0} e^{-\left(r-\sigma^2\right)T} $ 而且當然， $$ \begin{align*} \Phi\left(-\frac{m+\ln(K)}{s}\right) &=\Phi\left(\frac{\ln(S_0/K)+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T}{\sigma \sqrt{T}}\right)=:\Phi(d_0), \ \Phi\left(-\frac{m+\ln(K)+s^2}{s}\right) &=\Phi\left(\frac{\ln(S_0/K)+\left(r-\frac{3}{2}\sigma^2\right)T}{\sigma \sqrt{T}}\right)=:\Phi(d_{-1}). \end{align*} $$
最終期權價格為 $$ \begin{align*} V_0 = e^{-rT}\Phi\left(d_0\right)-\frac{K}{S_0}e^{-\left(2r-\sigma^2\right)T}\Phi\left(d_{-1}\right). \end{align*} $$
與現金的關係
你可以看到漂移 $ r-\sigma^2 $ 出現在條款中 $ e^{m+0.5s^2} $ 和 $ \Phi\left(-\frac{m+\ln(K)+s^2}{s}\right) $ . 正如@Gordon 所建議的那樣，這種漂移對應於數值變化。回想一下，漂移 $ S_t $ 在庫存量度下 $ \mathbb{S} $ 是 $ r+\sigma^2 $ ，請參閱此處和您自己的問題。這個答案非常詳細地概述了功率參數。這個答案的最後證實了 $ S_t $ 在使用價值過程的度量下 $ S_t^{-1} $ （那是 $ V_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_T^{-1}|\mathcal{F}_t] $ ) 因為現金是 $ r-\sigma^2 $ .