定價二元期權
如果事件發生，二元期權支付一定金額，否則為零。二元期權通常用於確保投資組合免受股市大幅下跌的影響。2021 年 3 月 25 日，如果標準普爾 500 指數在一年內下跌超過 10%（例如，-10% 及以下），則支付 1 美元的二元期權價格為 0.30。同時，如果標準普爾 500 指數從今天起一年內上漲超過 10%（例如，+10% 及以上），則支付 1 美元的二元期權的價格為 0.20。使用非套利參數，如果 S&P500 在
$$ -10%, 10% $$從今天起一年。
我將假設利率為 0。二元期權的價格與事件發生的風險中性機率相同 $$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\mathbb{1}{S(T)\geq K}\right]=\mathbb{Q}\left[S(T) \geq K\right] $$ 表示目前現貨價格 $ s $ . 你需要找到 $$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\mathbb{1}{0.9 s< S(T) <1.1 s}\right]=\mathbb{Q}\left[0.9s < S(T) <1.1s\right] $$ 你知道的 $$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\mathbb{1}{S(T)\leq 0.9s}\right]=\mathbb{Q}\left[S(T) \leq 0.9s \right]=0.2 $$ 和 $$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\mathbb{1}{S(T)\geq 1.1s}\right]=\mathbb{Q}\left[S(T) \geq 1.1s \right]=0.3 $$ 總的來說，我們有 $$ \mathbb{Q}\left[0.9s < S(T) < 1.1s\right]=1-\mathbb{Q}\left[S(T) \leq 0.9s \right]-\mathbb{Q}\left[S(T) \geq 1.1s \right] $$ 所以在這種情況下，我們有 $$ \mathbb{Q}\left[0.9s < S(T) < 1.1s\right]=1-0.2-0.3=0.5 $$
我認為您可以簡單地建構一個等效於雙數字期權的投資組合（我們稱之為 $ DO $ ）你想定價，定性看起來像這樣（虛線）：
複製投資組合應包含：
- 一年內到期的零息債券（現值（ $ t=0 $ ) = $ $ \exp(-r \cdot (1 - t)\text{ years}) $ );
- 如果標準普爾下跌 10% 或更多（目前值（ $ t=0 $ ) = $ $ -0.30 $ );
- 如果 S&P 增加 10% 或更多（目前值（ $ t=0 $ ) = $ $ -0.20 $ ).
所以你的選擇 $ DO $ 將和這個投資組合一樣值錢，也就是說 $$ DO(t) = \exp(-r \cdot (1-t)) - 0.5 $$
一年後，如果標準普爾指數保持在 $ [-10 %, , 10%] $ 其目前價值，那麼您投資組合中的兩個數字貨幣將用完，投資組合將產生$ $ \exp(0) - 0 - 0 = 1 $ . 相反，如果標準普爾指數超出該範圍，那麼其中一個數字將不得不支付$ $ 1 $ 全部，所以你的投資組合價值$ $ \exp(0) - 1 = 0 $ .
這正是您要為練習要求複製的選項模擬的行為。
