波動微笑下的二元期權定價
我被要求展示數字/二元期權的價格 $ D $ 而波動的微笑 $ \sigma(K) $ 存在 由
$$ D= \exp(-rT)( \Phi(d_2) - K \sqrt{T} \phi(d_2) \sigma ’ (K)) $$
在哪裡 $ \Phi $ 是標準正態 CDF 和 $ \phi $ 是標準的普通pdf。我首先展示了 $ D $ 在 BS 下由 $ -\frac{\partial C}{\partial K} $ ， 在哪裡 $ C $ 是看漲期權的標準 BS 定價。此外，我還表明這也可以表示為（沒有 vol 微笑）$$ -\frac{\partial C}{\partial K} = \Phi(d_2) $$
最後，我能夠展示以下內容$$ D = -\frac{\partial C}{\partial K} - \frac{\partial C}{\partial \sigma} \frac{\partial \sigma}{\partial K} $$
現在 $ \frac{\partial C}{\partial \sigma} $ 術語是 Vega，由下式明確給出$$ \frac{\partial C}{\partial \sigma} = S\phi(d_1)\sqrt{T} $$
現在我完全不知道該怎麼做，因為這個問題涉及到一個 $ K\phi(d_2) $ 任期，但我有一個 $ S\phi(d1) $ 學期。它們是否以某種方式相關？
注意 $ d_1 = d_2 +\sigma \sqrt{T} $ ， 和
$$ \tag{1}S\sqrt{T}\phi(d_1) = \frac{S\sqrt{T}}{\sqrt{2\pi}}e^{-(d_2 + \sigma \sqrt{T})^2/2} = \frac{S\sqrt{T}}{\sqrt{2\pi}}e^{-d_2^2/2}e^{-d_2\sigma\sqrt{T}}e^{-\sigma^2T/2}\ = S\sqrt{T}\phi(d_2)e^{-d_2\sigma\sqrt{T}}e^{-\sigma^2T/2} $$
自從
$$ d_2 = \frac{\log \frac{S}{K}+rT -\frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma \sqrt{T}}, $$
我們有
$$ \tag{2}e^{-d_2\sigma\sqrt{T}}= \frac{K}{S}e^{-rT}e^{\sigma^2T/2} $$
用 (2) 代入 (1) 我們得到
$$ S\sqrt{T}\phi(d_1) = e^{-rT}K\sqrt{T} \phi(d_2) $$
另請注意，對於 Black-Scholes 價格 $ C = S \Phi(d_1)-Ke^{-rT}\Phi(d_2) $ 我們有$$ \tag{3}\frac{\partial C}{\partial K}= - e^{-rT}\Phi(d_2) $$
推導是
$$ \tag{4}\frac{\partial C}{\partial K}= S\Phi’(d_1)\frac{\partial d_1}{\partial K} - e^{-rT}\Phi(d_2) - Ke^{-rT}\Phi’(d_2)\frac{\partial d_2}{\partial K}\ = -e^{-rT}\Phi(d_2) + S\phi(d_1)\frac{\partial d_1}{\partial K} - Ke^{-rT}\phi(d_2)\frac{\partial d_2}{\partial K} $$
自從 $ \frac{\partial d_1}{\partial K} = \frac{\partial d_2}{\partial K} $ 並使用先前的結果 $ S\phi(d_1) = e^{-rT}K \phi(d_2) $ , (4) 的 RHS 上的第二項和第三項取消，我們得到了期望的結果 (3)。