現實生活中的定價與理論
在買賣普通看漲期權時，是否根據某種定價公式（即 Black-Scholes）對它們進行定價？或者是使用定價公式找到隱含波動率然後為場外期權定價的唯一要點？如果香草電話的價格無論如何由交易所的供需決定，我看不出布萊克-斯科爾斯定價公式的意義。
這是我的一些想法：
市場參與者會對普通期權的真實價格有誤嗎？例如，我們是首先通過測量波動率來找到價格，還是通過查看普通期權價格來找到波動率？
市場交易中是否存在套利機會？還是套利機會只在場外交易？
為什麼不直接使用已實現的波動性來為所有種類的衍生品定價？我可以使用已實現的波動率來為場外期權定價嗎？
如果隱含波動率和實際波動率不一致，那麼為什麼沒有套利機會呢？如果 Black-Scholes 從業者認為股票遵循幾何布朗運動，並且他們估計波動率為 25%，那麼他們應該使用該波動率來定價嗎？否則，他們不相信那個模型？這 $ \sigma $ 出現在 GBM 和 BS 定價公式中是相同的 $ \sigma $ .
**1.**首先讓我將 Black-Scholes 定價公式與價格由供需決定的概念相協調。即使沒有明確表示，從均衡的角度來看，布萊克-斯科爾斯公式定義了與不存在套利相一致的唯一風險價格。
事實上，當您呼叫 Girsanov 定理推導出 Black-Scholes 定價公式時，您明確使用了這個價格。您在該定理中呼叫的鞅過程以獲得度量的變化是消費的邊際效用，它是您的隨機貼現因子。因此，您隱含地對供需的平衡結果進行建模，唯一的問題是“對於您想要做的事情，它是否足夠好？”
布萊克-斯科爾斯的主要興趣是什麼？它適用於一整類均衡模型。
2. Black-Scholes-Merton 框架確實具有非常方便的特性，允許我們在隱含波動率空間中工作。它本身非常有用，因為它為您提供了一個自然單位來比較許多非常不同的契約。事實上，校準更複雜的定價模型是一種非常聰明的方法：您可以最小化觀察到的隱含波動率和模型隱含波動率之間的平變異數。
然而，它並不是它的唯一用途。Christoffersen 和 Jacobs (2004) 早在 2004 年就在 Management Science 上發表了一篇論文，他們表明，如果你根據自己的目標定制估計/校準策略，那麼從經驗上來說，“被騙”的 Black-Scholes 版本並不容易被擊敗。具體來說，根據 Girsanov 定理，對於 BS，風險中性和物理測量下的波動率應該是相同的，但是如果你不把模型看得太重，你可以強制將模型擬合到隱含波動率表面——例如，在隱含波動率表面上擬合二次多項式，並使用擬合值作為輸入。或者您可以嘗試通過最小化對沖錯誤的損失來強制擬合模型以獲得良好的對沖。
在實踐中，人們所做的似乎是尋找聰明的方法將錯誤的數字放入錯誤的模型中以完成工作。BS 具有使用簡單、易於理解和在數值上非常高效的優點。但是請注意，如果您嘗試為長期期權定價，波動的微笑通常並沒有那麼糟糕。它平坦了很多。在這一點上，BS實際上是一個很好的指南。
**3.**人們大概總是錯的。
**4.**關於套利機會的陳述的問題在於，它們實際上是關於 (1) 定價方程和 (2) 觀察到的價格不是定價方程所隱含的觀察結果的聯合陳述。你觀察到一個模型失敗了，但你不知道是因為你有錯誤的模型還是因為市場是錯誤的。
現在，Giglio 和 Kelly (2018) 有一篇關於包括股票期權在內的多種證券的過度波動性的論文。他們表明，期限結構模型中仿射（或指數仿射）Q 現金流動態所暗示的無套利限制被全面違反。然後，非常有趣的是，他們努力“拯救”無套利，看看他們是否能找到方法將結果解釋為模型錯誤指定的問題——他們做不到。這並不意味著它不能完成，但它確實意味著如果不存在套利，那真的不明顯為什麼。
他們的最終結論是，由於某種形式的投資者過度反應而存在套利，而這種套利之所以存在，是因為試圖利用它的成本太高（交易成本、不頻繁的交易和長時間的持有使得交易真的毫無意義）。
**5.**首先，在回報存在條件非正態性的情況下，實際波動率甚至不是對波動率的有效估計，因為它被更高的時刻所污染。類似的評論適用於 VIX 和未來隱含波動率（詳見 Martin (2017)）。其次，假設您在估計標的資產波動率方面做得更好，在某些模型中，理論上可以在物理過程下使用波動率。這就是吉爾薩諾夫定理。問題是它似乎不太好用。根據經驗，無論您如何解決問題，您都會發現 Q-volatility 始終高於 P-volatility。它曾經被稱為波動率之謎，但我們現在有一個明確的解釋：可能存在負變異數風險溢價。
您可以通過多種方式獲得這樣的溢價： 1. 隨機波動率 2. 二次定價核心 3. 在 GARCH 模型中，超過一個時期；4. 在具有條件回報非正態性的 GARCH 模型中（例如，GED 衝擊或逆高斯創新）
你可以查閱 Christoffersen、Elkamhi、Feunou 和 Jacobs (2010) 了解這方面的詳細資訊，但它非常技術性。Bégin、Dorion 和 Gauthier (2020) 的論文也對變異數風險溢價進行了很好的討論。在所有這些情況下，或多或少容易表明風險中性波動率平均高於實物波動率。
**6.**請注意，在我上面提到的所有情況下，您都可以有一個負的變異數風險溢價（即，Q-volatility 大於 P-volatility）並且它們都施加了無套利。對於從業者的問題，您的評論是正確的，並且您自己想出了解決方案：**如果他們相信他們的模型。**嗯，答案是沒有人這樣做。
Rebonato 將整個過程稱為“錯誤公式中的錯誤數字以得到正確的價格”。
我們使用 Black-Scholes 的方式與查看股票市盈率的方式大致相同。這對交易者有利。首先，它將快速變動的價格轉化為緩慢變動的估值指標。其次，它給了我們一個價值觀念。這個選項是豐富還是便宜。當然，我們需要比這更多的資訊來做出真正的決定，但是知道期權的隱含波動率為 30% 比 3 美元交易的資訊要多得多。第三，它允許我們將一個選項與其他選項進行比較。這可能是同一到期月份同一標的物的其他期權。或者它可能是相同的基礎+不同的月份。或者同行業的另一家公司。等等。
它還為我們提供了某種估計和框架，可以在其中為那些這樣做的人對沖期權。交易商或做市商將動態對沖期權組合。如果沒有某種框架來關聯投資組合中的選項（假設匯總風險是有意義的），您如何匯總風險。但是，例如，您想對一組可能包括上市期權、場外期權和可轉換債券的 AAPL 工具進行 delta 對沖？擁有像 Black-Scholes 這樣的模型可以讓這種情況發生。
最後值得注意的是，雖然 Black-Scholes 有其局限性，但它是一個相對簡單的模型，並且已經使用了幾十年。交易者對它在哪裡崩潰（我們中的一些人）感到滿意，並相應地調整他們對模型的使用。