為 Passport 選項定價
假設標的資產 $ S $
$$ dS = \mu Sdt + \sigma Sd W $$ 我們的投資組合 $ \pi $ 符合 $ q(t) $
stock$ S $ 和cash$ \pi - qS $ 有時 $ t, $ 所以我們有 $$ d\pi = r(\pi− qS) dt + q dS. $$ 和 $ |q|\leq 1. $ 並假設我們的最終付款passport option是$$ V(\pi,s, T) = \max{\pi,0}. $$ 使用
hedge portfolio，我們可以得到PDE$$ V_t + \dfrac{1}{2}\sigma^2s^2 V_{ss} + q\sigma^2s^2V_{s\pi} + \dfrac{1}{2}q^2\sigma^2s^2V_{\pi\pi} + rsV_s + r\pi V_{\pi} -rV = 0. $$ 我們想選擇 $ q(t) $ 至maximize$ V. $我在這裡混淆的一件事是，為什麼作者只能輕鬆地最大化包含 $ q $ 在 PDE 中？IE
$$ \max\limits_{|q|\leq 1}\ \left(q\sigma^2s^2V_{s\pi} + \dfrac{1}{2}q^2\sigma^2s^2V_{\pi\pi}\right) $$ 那是書
Paul Wilmott on Quantitative Finance頁455
你最大化條款 $ q $ 在 PDE 中，因為這是動態規劃中貝爾曼最優性原理的結果。直覺是全域最優策略 $ {q_t}_{0 \leq t \leq T} $ 是局部最優的（在風險中性度量下，因為期權是動態對沖的）
$$ V_t = \max_{|q_t|\leq 1}e^{-r dt}E_t\left[V_{t+dt} \right] $$ 那是 $$ V(\pi, S, t) = \max_{|q|\leq 1}e^{-r dt} E_t\left[V(\pi+ d\pi, S+dS, t+dt) \right] $$ 以及隨機動態（在風險中性措施下） $$ dS = rS dt + \sigma S dW $$ $$ d\pi=r(\pi - qS) dt + qdS $$ 和終端條件 $ V(\pi, S, T) =\max(\pi, 0) $ . 換句話說，你從頭開始，然後回到過去，根據你所處的狀態在每個時間步找到最優策略。 然後，您將 Ito 引理應用於 $ V(\pi+ d\pi, S+dS, t+dt) $ 獲得作者的結果。