使用 dupire 局部波動率模型定價
我正在閱讀 Dupire 局部波動率模型，並對推導有一個粗略的了解。但我無法使用幾何布朗運動過程將局部波動率表面與定價相協調。如果我沒記錯的話 $ dS=rSdt+\sigma(S;t) S dX $ 給定最終條件 $ (S-K)^{+} $ 給定一些罷工將產生正確的期權價值。所以換句話說，每次我改變罷工 $ K $ 我應該得到與市場一致（或非常接近它們）的期權價值。這是真的嗎？我的模型如何知道我更改了罷工？
編輯：
2016/11/19:
我仍然不確定我是否理解正確。
如果我有一個按行使價和到期日劃分的期權價格矩陣，那麼我應該為這些數據擬合一些 3D 函式。這可以通過一些插值/外推或僅找到一些 3 次多項式來完成。我做了後者。
瞬時波動率的公式是 $ \sigma(E;T)=\sqrt{\frac{\frac{\partial V}{\partial T}+rE\frac{\partial V}{\partial E}}{\frac{1}{2}E^2\frac{\partial^2 V}{\partial^2 E}}} $
如果我想進行蒙特卡羅模擬，我應該評估 $ \sigma(E;T) $ 在每個時間步。在每個時間步，我模擬目前股票價格 $ S_c $ 我假裝是 $ E $ 所以我評價 $ \sigma(E;T) $ 在 $ E=S_c; T=t $ . 這個對嗎？如果是這樣，那麼 $ \frac{\partial V}{\partial T} $ 確實是期權價格的瞬時變化，具有罷工 $ S_c $ 它來自期權價格矩陣。這個對嗎？所以真的任何隨機過程 $ dS=rSdt+\sigma(S;t) S dX $ 對於所有 Strike，應該具有相同的擴散。如果它們具有完全相同的擴散，則機率密度函式將相同，因此所有期權的實際波動率將完全相同，但市場數據區分行使價和期權價格之間的波動率。如果我意識到波動率與隱含波動率不同，我就不可能獲得與市場相同的期權價格。
例如，行使價 K=100 的期權的實際成交量應為 20%（這是從期權報價中暗示的），而行使價 K=110 的期權的實際成交量應為 15%，但實際上使用 dupire 公式，它將是他們倆都一樣。你們能澄清一下嗎？
編輯 2016/11/21：好的，伙計們，我想我現在明白了。我進行了 MC 模擬並得到了正確的數字。事實上，pdf 將是相同的，但它允許複製隱含的 vol 表面。感謝您的解釋，這很有幫助。
- 組合數據，由期權報價矩陣組成 $ {C(T_i,K_j^i)}_{i=1}^{N} $ 在哪裡 $ j=1,2,…,M_i $ 與收益率曲線一起確定 $ r $ .
- 插值和推斷這些價格（或者，更可能的是相應的 Black-Scholes 隱含波動率）以產生平滑的波動率表面 $ C $ .
- 計算 $ \widehat{\sigma}(T, F) $ 從 Dupier 公式計算相應的 $ \sigma(T,S). $
- 價格模型由 $$ dS_t=\mu(t)S_tdt+\sigma(t,S_t)S_tdW_t. $$
- 現在我們可以通過有限差分法或蒙地卡羅計算奇異期權的價格。
筆記
$$ \mu(t)=r_t-q_t $$ 和 $$ F_t=S_t\exp\left(\int_{t}^{T}\mu(s)ds\right) $$
這背後的想法如下：假設您將觀察到歐洲普通普通看漲期權價格的無套利連續體 $ C_0(T, K) $ 適用於所有到期日和行使價。對於任何固定期限 $ T $ ，這意味著通過眾所周知的關係，對應終端資產價格的機率密度函式
$$ \begin{equation} f_{S_T}(K) = e^{r T} \frac{\partial^2 C}{\partial K^2}(T, K). \end{equation} $$ 局部波動 $ \sigma(K, T) $ 是唯一的確定性擴散函式，使得模型和市場隱含機率密度對於所有期限都一致。
歐洲或有債權的回報僅取決於到期時的資產價格。因此，隱含機率密度與利息期限一致的任何兩個模型都同意所有歐洲或有債權的價格。因此，通過建構，本地波動率模型與所有歐洲或有債權的市場價格相匹配，而不需要模型動態，具體取決於您感興趣的罷工或支付函式。
編輯十一月 2016 年 21 月：
以下是我對您的第一次編輯的理解：您寫道，由於只有一個價格過程，每個期限都有一個固定的隱含標準差。然後你爭辯說，我們不能複制所有歐式期權的價格，因為市場表現出與罷工相關的隱含波動率。
雖然你的陳述是正確的，但你的結論卻不是。(Black/Scholes) 隱含波動率不僅反映了收益的標準差，而且還反映了與正態分佈的所有偏差。即