可以通過負機率或其他方式套利時的定價
現在在這裡也被問到：在介紹性隨機微積分/衍生品定價課程中，當違反無套利行為時詢問價格是否公平？
假設我們有一個一般的一期市場模型，包括 $ d+1 $ 資產和 $ N $ 狀態。
使用複制投資組合 $ \phi $ ， 決定 $ \Pi(0;X) $ ，歐式看漲期權的價格，有收益 $ X $ , 在資產上 $ S_1^2 $ 以行使價 $ K = 1 $ 鑑於
$$ S_0 =\begin{bmatrix} 2 \ 3\ 1 \end{bmatrix}, S_1 = \begin{bmatrix} S_1^0\ S_1^1\ S_1^2 \end{bmatrix}, D = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\ 2 & 2 & 4\ 0.8 & 1.2 & 1.6 \end{bmatrix} $$
其中的列 $ D $ 表示每個資產的狀態，D 的行表示每個狀態的資產
我嘗試了什麼：
我們計算：
$$ X = \begin{bmatrix} 0\ 0.2\ 0.6 \end{bmatrix} $$
如果我們解決 $ D’\phi = X $ ，我們得到：
$$ \phi = \begin{bmatrix} 0.6\ 0.1\ -1 \end{bmatrix} $$
看起來歐式看漲期權的價格 $ \Pi(0;X) $ 由複制投資組合的價值給出
$$ S_0’\phi = 0.5 $$
一方面，如果我們試圖通過查看狀態價格向量來查看該市場是否存在套利 $ \psi $ 通過解決而存在 $ S_0 = D \psi $ ，我們得到
$$ \psi = \begin{bmatrix} 0\ -0.5\ 1 \end{bmatrix} $$
因此，不存在嚴格正的狀態價格向量 $ \psi $ 英石 $ S_0 = D \psi $ . 根據“資產定價基本定理”（或“金融基本定理”或此處的“1.3.1”），該市場存在套利。
另一方面，價格 $ 0.5 $ 似乎被證實：
$$ \Pi(0;X) = \beta E^{\mathbb Q}[X] $$
在哪裡 $ \beta = \sum_{i=1}^{3} \psi_i = 0.5 $ （元素的總和 $ \psi $ ） 和 $ \mathbb Q $ 應該是由下式給出的等效鞅測度 $ q_i = \frac{\psi_i}{\beta} $ .
因此我們有
$$ E^{\mathbb Q}[X] = q_1X(\omega_1) + q_2X(\omega_2) + q_3X(\omega_3) $$
$$ = 0 + \color{red}{-1} \times 0.2 + 2 \times 0.6 = 1 $$
$$ \to \Pi(0;X) = 0.5 $$
我猜 $ \therefore $ 我們無法確定歐洲看漲期權的價格 $ \Pi(0;X) = \beta E^{Q}[X] $ 因為沒有等效的鞅測度 $ \mathbb Q $
那麼判決結果是什麼？我們可以說價格是0.5嗎？即使有套利，我們如何定價？0.5的解釋是什麼？
如果你不能做空，我相信沒有唯一的價格。比方說，您沒有購買期權，而是在半個單位的資產上花費了 0.5 $ S^2_1 $ 該資產支付 $ [0.4, 0.6, 0.8] $ 一階隨機支配選項。所以，無論你對狀態的機率信念如何，在那種情況下你永遠不會支付 $ 0.5 $ 對於在每個州支付較少的選項。這表明正確的價格低於 $ 0.5 $ . 同樣，購買 $ 0.25 $ 的單位 $ S^0_1 $ 資產或 $ 0.167 $ 的單位 $ S^1_1 $ 資產同樣會隨機支配期權。事實上，因為對於 $ 0.375 $ 資產單位 $ S^1_2 $ , 花費在 $ 0.375 $ ，您仍然可以擁有可以支付的資產 $ [0.3, 0.45, 0.6] $ , 價格似乎不太可能高達 $ 0.375 $ . 資產 0 意味著價格低於 $ 0.4 $ 和下面的資產 1 $ 0.45 $
一些要解決的python程式碼：
import numpy as np S0 = np.array([[2],[3],[1]]) D = np.array([[1,2,3], [2,2,4], [0.8, 1.2, 1.6]]) X = np.array([[0.0],[0.2],[0.6]]) phi = np.dot(np.linalg.inv(D.transpose()), X) print('The weights of the portfolio that replicates payoff X are: \n', phi) P_X = np.dot(S0.transpose(), phi) print('With a price: ', P_X) print('Normalizing to pay a fixed price P_X for each of the three assets, what payoffs can you get?') D_norm = D/(2*S0) print(D_norm) print('Notice that all three first order stochastically dominate the option for a price of: ', P_X) print(D_norm - X.transpose()) print('Using each of the base assets, what\'s the minimum quantity that dominates?') D_relative = X.transpose() / D print(D_relative) Min_dominating_fraction = np.max(D_relative,axis=1) print('Minimum fraction of each of the assets that dominates X\n', Min_dominating_fraction) P_Min_dominating_fraction = S0.transpose() * Min_dominating_fraction print('At prices of: ', P_Min_dominating_fraction) print('Therefore the option price should be less than: ', np.min(P_Min_dominating_fraction))這段程式碼沒有說明期權的價格，它只是顯示了我對上面段落的計算。如果允許做空，我相信這個期權的實際價格實際上為零。如果您購買三個單位的資產 $ S^2_0 $ 並短一個單位 $ S^1_0 $ 你得到一個有支出的資產 $ [ 0.4, 1.6, 0.8] $ . 這個頭寸不需要任何成本，對所有狀態都有正支付，並且一階隨機支配期權本身。由於可以以零成本製作比複製投資組合更好的投資組合，因此價格應該為零。哦，當套利存在時，工作中的精神錯亂！