期權到期的機率與波動率
如果標的股票的波動性增加，期權最終以貨幣形式結束的機率將如何變化？
直覺上，我認為這個問題的答案是，如果波動性上升，到期時入金的機會會增加嗎？
看漲期權：
$$ \mathbb{P}\left(S_t\geq K\right)=\mathbb{P}\left(S_0e^{(rt-0.5\sigma^2t+\sigma W_t)}\geq K\right)=\=\mathbb{P}\left(W_t\geq \frac{ln\left(\frac{K}{S_0}\right)-rt+0.5\sigma^2t}{\sigma}\right)=\=\mathbb{P}\left(Z\geq \frac{ln\left(\frac{K}{S_0}\right)-rt+0.5\sigma^2t}{\sigma\sqrt{t}}\right)=\mathbb{P}(Z\leq d2) $$
因此，我們已經展示了一個眾所周知的結果，即看漲期權最終以貨幣結束的（風險中性）機率為 $ N(d_2) $ .
我可能想區分 $ \sigma $ 查看導數在哪裡是正數和負數，以便更好地理解機率行為作為 sigma 的函式：
$$ \frac{\partial}{\partial \sigma}\mathbb{P}(Z\leq d2)=\frac{\partial}{\partial \sigma}\left(\int_{-\infty}^{d2} f_Z(h) dh \right)=\=\frac{\partial}{\partial d2}\left(\int_{-\infty}^{d2} f_Z(h) dh \right)\frac{\partial d2}{\partial \sigma}=\=f_Z(d2)\left(\frac{-ln\left(\frac{S_0}{K}\right)-rt}{\sigma^2\sqrt(t)}+\sqrt{t}\right) $$
老實說，從上面的表達式來看，這並不是很明顯，而且要容易得多 $ N(d_2) $ 對比 $ \sigma $ 對於 OTM、ATM 和 ITM 看漲期權（我將所有期權設置為 1 年到期，利率設置為 0.01，行使價分別為 80、100 和 120，現貨設置為 100）。繪圖，我得到以下資訊：
上圖對於 OTM 和 ITM 對我來說是有意義的：OTM 呼叫確實像人們直覺預期的那樣喜歡更高的波動性（高達約 0.6），而 ITM 呼叫不喜歡更高的波動性（再次，正如人們所期望的那樣）。
**我有點困惑（直覺地）為什麼 ATM 呼叫不喜歡在整個域中增加 vol 關於（風險中性）最終獲利的機率。**由於下行空間有限且上行空間無限，我直覺地認為 ATM 看漲期權會增加 $ \sigma $ 關於在到期時結束價內。
