用利率推導 Bachelier 公式的問題
在 Bachelier 模型中，我在某個步驟上遇到了困難。我想弄清楚分佈 $ S_T $ ，即 Bachelier 模型中的價格過程。
到目前為止，我可以說（ $ \mathbb{Q} $ 是 EMM）： $$ \begin{eqnarray} dS_t = r S_t dt + \sigma W^\mathbb{Q}t \label{SDE2} \end{eqnarray} $$ 和那個 $$ \begin{eqnarray} S_T = S_0 e^{rT} + \int\limits{0}^{T}\sigma e^{r(T-s)} dW^\mathbb{Q}_s \end{eqnarray} $$ 現在我發現了一本書說 $ S_T $ 有分佈： $$ \begin{eqnarray} S_T \sim \mathscr N \left(S_0 e^{rT}, \sqrt{\frac{\sigma^2-\sigma^2e^{-2rT}}{2r}} \right) \end{eqnarray} $$
我不明白為什麼會這樣，也許我在隨機積分方面的技能還不夠。
感謝您抽出寶貴時間！
正如@byouness 所解釋的，使用Itô 的 Isometry，我們得到： $$ \begin{align} V(S_T)&=V^{\mathbb{Q}}\left(\int_0^T\sigma e^{r(T-s)} dW^\mathbb{Q}_s\right) \[9pt] &=E^{\mathbb{Q}}\left(\left(\int_0^T\sigma e^{r(T-s)} dW^\mathbb{Q}_s\right)^2\right)-{\underbrace{E^{\mathbb{Q}}\left(\int_0^T\sigma e^{r(T-s)} dW^\mathbb{Q}s\right)}{=\int_0^T\sigma e^{r(T-s)} E^{\mathbb{Q}}(dW^\mathbb{Q}s)=0}}^2 \[-9pt] &=E^{\mathbb{Q}}\left(\int_0^T\sigma^2 e^{2r(T-s)} ds\right) \end{align} $$ 剩餘的積分是確定性的，因此： $$ V(S_T)=\sigma^2\left[-\frac{e^{2r(T-s)}}{2r}\right]{s=0}^{s=T}=\sigma^2\left(\frac{e^{2rT}-1}{2r}\right) $$ 請注意，您的結果在減號之前都是正確的。這可能是因為股票價格的 Bachelier 動力學也被稱為Ornstein-Uhlenbeck 過程，它通常用漂移中的減號定義，即： $$ dS_t = \color{red}{-}r S_t dt + \sigma W^\mathbb{Q}_t $$ 在這種情況下，波動性由您原始文章中的表達式給出。