期權
局部波動率模型的問題（與隨機波動率模型相比）
為什麼局部波動率模型的定價是外來期權的問題，主要是因為“波動面是市場目前對波動性的看法，這將在未來發生變化，這意味著外來期權將不再與市場價格一致”（來自 Quant Job面試問題和答案）
vol 表面是什麼意思是 vol 的目前視圖（我認為 vol 模型無論如何都不能預測未來），為什麼如果你使用隨機波動率模型會更好？
1、vol表面是vol的目前視圖是什麼意思？
本地波動率模型根據反映市場對波動率的看法的普通價格（以及等效的隱含波動率）進行校準，以便使用它來為其他與普通貨幣對沖的期權定價。
Black-Scholes 模型（沒有微笑）將無法匹配所有罷工時的期權隱含波動率（微笑）。局部波動率模型將。給定看漲期權價格的連續表面，即執行價格和時間可微分兩次，Dupire 公式給出了與歐洲期權價格兼容的獨特風險中性擴散（無跳躍）過程：
- $ dS_t = (r − q)S_t dt + σ(t, S_t)S_tdW_t $
- 和： $ \sigma(t, S)^2 = 2 \frac{\frac{\partial C}{\partial T} + qC +(r-q)K\frac{\partial C}{\partial K}}{K^2\frac{\partial^2C}{\partial K^2}} |_{K = S, T = t} $
- 在哪裡 $ r $ 是利率， $ q $ 股利收益率， $ C $ 給出呼叫價格的函式， $ K $ 罷工和 $ T $ 到期。
有關更多資訊，請參閱 Dupire 以及 Derman 和 Kani 的開創性論文：
- 微笑定價：https ://www.math.nyu.edu/~benartzi/pricingw.pdf
- 波動微笑及其隱含樹：http ://www.cmat.edu.uy/~mordecki/hk/derman-kani.pdf
2. 如果使用隨機波動率模型，為什麼會更好？
局部波動率模型將能夠與今天的微笑值相匹配，但由於微笑在長期到期時會變平，因此該模型對這些到期日給出幾乎恆定的微笑，導致前向微笑變平（即微笑在未來），這是不現實的。
當您關心的奇異選項取決於前向微笑（例如棘輪選項）時，這是不可取的。在這種情況下，需要一個模型來提供逼真的微笑動態。
隨機波動率模型給出了波動率微笑的更真實的動態。然而，他們帶來了他們的問題/挑戰。
例如，它們可能比本地 vol 模型更難校準。此外，他們有時可能不會對期限較短的期權表現出足夠的微笑。為了克服第二個問題，隨機波動率模型是：
- 結合底層證券的跳躍。
- 結合局部波動率（局部隨機波動率模型）。