在風險中性度量下證明過程是鞅
顯示任何 $ \lambda \in \Re $ , 過程 $ Y_{\lambda,t} $ 定義為：
$$ Y_{\lambda,t} = (S_t/S_0)^\lambda e^{-(r\lambda-\lambda(1-\lambda)\sigma^2/2)t} $$
是風險中性測度下的鞅 $ Q $ .
我在想我可以應用 Ito 的引理來證明 $ \text{d}t $ 期限將為零。但是，在進行偏導之後，這些項不會相互抵消。
非常感謝我能得到的所有幫助！
我們定義流程 $ Y_t=Y(t,S_t) $ 如下： $$ Y_t=\left(\frac{S_t}{S_0}\right)^\lambda \exp\left{-\left(r\lambda-\lambda(1-\lambda)\frac{\sigma^2}{2}\right)t\right} $$
方法一
讓： $$ \alpha=\lambda\left(r-(1-\lambda)\frac{\sigma^2}{2}\right) $$ 然後由伊藤引理： $$ \text{d}Y_t=-\alpha Y_t\text{d}t+\frac{\lambda}{S_t}Y_t\text{d}S_t+\frac{1}{2}\frac{\lambda(\lambda-1)}{S_t^2}Y_t\text{d}\langle S_t,S_t\rangle $$ 假設 $ S_t $ 跟隨有漂移的幾何布朗運動 $ \mu $ 和擴散 $ \beta $ : $$ \text{d}S_t=\mu S_t\text{d}t+\beta S_t\text{d}W_t $$ 然後： $$ \text{d}Y_t=\left(\lambda\mu+\lambda(\lambda-1)\frac{\beta^2}{2}-\alpha\right)Y_t\text{d}t+\lambda\beta Y_t\text{d}W_t $$ 因此對於 $ Y_t $ 要成為（本地）鞅，我們需要： $$ \lambda\mu+\lambda(\lambda-1)\frac{\beta^2}{2}=r\lambda+\lambda(\lambda-1)\frac{\sigma^2}{2} $$ 這是真的，如果： $$ \begin{align} \text{C.1}\quad\mu&=r\ \text{C.2}\quad\beta&=\sigma \end{align} $$
方法二
另請注意，如果上述條件 $ \text{C.1} $ 和 $ \text{C.2} $ 抓住： $$ \begin{align} Y_t&=\left(\frac{S_t}{S_0}\right)^\lambda \exp\left{-\left(r\lambda-\lambda(1-\lambda)\frac{\sigma^2}{2}\right)t\right} \ &=\exp\left{\left(r\lambda-\lambda\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\lambda\sigma W_t\right}\exp\left{-\left(r\lambda-\lambda(1-\lambda)\frac{\sigma^2}{2}\right)t\right} \ &=\exp\left{-\lambda^2\frac{\sigma^2}{2}t+\lambda\sigma W_t\right} \end{align} $$ 讓 $ 0<s<t $ . 然後： $$ \begin{align} \mathbb E^Q\left[Y(t,S_t)|\mathcal{F}_s\right]&= \exp\left{-\lambda^2\frac{\sigma^2}{2}s+\lambda\sigma W_s\right}\mathbb E^Q\left[\exp\left{-\lambda^2\frac{\sigma^2}{2}(t-s)+\lambda\sigma (W_t-W_s)\right}|\mathcal F_s\right] \ &= \exp\left{-\lambda^2\frac{\sigma^2}{2}s+\lambda\sigma W_s\right}\mathbb E^Q\left[\exp\left{-\lambda^2\frac{\sigma^2}{2}(t-s)+\lambda\sigma (W_t-W_s)\right}\right] \ &= \exp\left{-\lambda^2\frac{\sigma^2}{2}s+\lambda\sigma W_s\right} \[7pt] &= Y_s \end{align} $$
$ E_0[Y_{\lambda,t}] = 1,, \forall t $ ， 因此 $ Y_t $ 是鞅。