歐式看漲期權的複制策略
所以問題問：L et $ S(0) = 120 $ 美元， $ u = 0.2 $ , $ d = −0.1 $ 和 $ r = 0.1 $ . 考慮具有執行價格的看漲期權 $ X = 120 $ 美元和運動時間 $ T = 2 $ . 找出期權價格和複製策略。
所以解決方案是：
當時的期權價格 $ 0 $ 是 $ 22.92 $ 美元。（是的，我得到了相同的答案）
除此金額外，期權作者應藉入 $ 74.05 $ （？）美元併購買 $ 0.8081 $ (?) 的份額。
在時間 1，如果 $ S(1) = 144 $ ，則持有的股票數量應增加到 1 股，購買資金是通過進一步借款 $ 27.64 $ 美元，增加了所欠的總金額 $ 109.09 $ 美元。（明白了。 $ 144*(1-0.8081) = 27.64 $ , $ 27.64+74.05+7.4=109.09 $ )
另一方面，如果， $ S(1) = 108 $ 美元 $ 1 $ ，那麼應該出售一些股票以減少持有的股票數量 $ 0.2963 $ （為什麼？），和 $ 55.27 $ (?) 美元應償還，減少所欠的金額 $ 26.18 $ （什麼？）美元。（在任何一種情況下，時間 1 的欠款都包括時間 0 借入金額的 7.40 美元的利息。）
所以基本上，我真的不明白它為什麼決定購買 $ 0.8081 $ 在時間 0 分享？
還有，號碼在哪裡 $ 0.2963 $ 來自？即使份額應該減少到 $ 29.63% $ , 還款額是怎麼算出來的, $ 55.27 $ 以及擁有的金額， $ 26.18 $ ?
你在一個時期的開始和股票價格，值得 $ S $ ，可以在以下兩種狀態中的任何一種中進化： $ S_u = u S $ 或者 $ S_d = d S $ .
您不了解的部分與形成所謂的複制投資組合有關。更具體地說，僅使用股票和（無風險）現金賬戶，問題是“如何建立一個投資組合，允許在給定的時間範圍內完美複製期權的行為”（這裡是二叉樹的一個時期）。
讓 $ \Pi $ 表示這樣的投資組合。讓 $ \Pi $ 由組成 $ \alpha $ 股票的股份和 $ \beta $ 用現金。兩個都 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 根據您是否擁有/出售股票或借入/借出現金，可以是正數或負數。
$$ \Pi = \alpha S + \beta $$ 目前我們不知道 $ \alpha $ 也不 $ \beta $ . 但是我們可以很容易地確定它們。事實上，在一個時期結束時，假設期權是值得的 $ V_u $ 在 up 狀態和 $ V_d $ 處於下降狀態。然後，因為我們希望我們的投資組合能夠複製，我們希望它的價值 $ \Pi $ 進化到完全相同的狀態，即 $ \Pi_u = V_u $ 和 $ \Pi_d = V_d $ . 這產生兩個方程：
$$ \Pi_u = \alpha S_u + \beta (1 + R) = V_u $$ $$ \Pi_d = \alpha S_d + \beta (1 + R) = V_d $$
- 股票在投資組合中的組成部分 $ \Pi $ 從進化而來 $ \alpha S $ 至 $ \alpha S_u $ 或者 $ \alpha S_d $ ，因為股票價格演變了。
- 現金金額 $ \beta $ 在期初借/借，已經花費/為我們賺取了一些利息，因此因素 $ 1+R $ .
為 2 個未知數求解這 2 個方程 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 最終得到：
$$ \begin{align*} \alpha &= \frac{V_u - V_d}{S_u-S_d} \ \beta &= \frac{1}{1+R} \frac{u V_d - d V_u}{(u-d)} \end{align*} $$ 這為您提供了共享數量（ $ \alpha $ ）你需要買/賣和兌現（ $ \beta $ ) 您需要藉/貸以完美複製該選項。當然，因為投資組合正在複製 $ \Pi = V $ 期初的期權價值，這是檢查您是否犯錯的好方法。
如果你以正確的方式建立了你的期權樹（這似乎是因為你同意期權溢價），那麼在第一期你可以計算 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 從上面的方程，它應該給你困惑你的數字，即 $ 0.8081 $ 和 $ -74.05 $ 分別。請注意，如果您進行計算 $ \Pi = 0.8081\times120 - 74.05 = 22.92 = V $ ，因此可以。
現在，您可以在任何未來期間重複計算，以獲得您應該借入/借出的股票和現金數量，以進一步複製期權。
這裡有一個微妙的點：該練習認為您正在對沖期權。換句話說，您做多期權，但做空複製投資組合。這就是為什麼雖然你會發現 $ \alpha = +0.8081 $ （購買股票）和 $ \beta=-74.05 $ （借出現金）在第一階段，您實際上應該反轉該頭寸（因為在對沖多頭期權頭寸時，您是在做空複製投資組合）。