SABR 隱含波動率：正態近似與對數正態近似

我無法理解 Hagans SABR 模型的正常隱含波動率和對數正態隱含波動率之間的區別：http ://web.math.ku.dk/~rolf/SABR.pdf 。

據我了解，Hagan 提出的主要結果是該論文中方程（2.17a）給出的隱含波動率公式。然而，在閱讀附錄後，我對正常隱含波動率和對數正態隱含波動率之間的差異以及 $ \beta $ 影響這個。Hagan 提出的主要結果是使用 SABR 期權價格公式和黑色期權定價公式獲得的黑色隱含波動率。有幾點我不明白：

1. 對於什麼值 $ \beta $ Hagan 提出的 SABR 期權價格的黑色（對數正態）隱含波動率公式是否有效？
2. 什麼是正常的隱含波動率公式以及 $ \beta $ 正常的隱含波動率是否有效？
3. 哈根還提出了暗示 $ \textit{normal} $ 布萊克模型的波動性，但我認為布萊克的模型是對數正常的？
4. 黑色（對數正態）隱含波動率和正態隱含波動率是否對相同的值範圍有效 $ \beta $ ，還是不同的？

最初，我認為 Hagan 對隱含（黑色）波動率的對數正態近似適用於 $ 0 < \beta \leq 1 $ 因為哈根說如果 $ \beta = 0 $ 這代表“隨機正態模型”。但我不確定了。

一般來說，我對正常和對數正常隱含 vol 之間的區別以及 beta 在確定這些方面所起的作用感到困惑。任何幫助理解這一點都會很棒，非常感謝。

我不會回答你所有的問題，但讓我試一試。

1. 我對此沒有一個合格的答案。然而在實踐中 $ \beta $ 總是有界的，使得 $ \beta \in [0,1] $ （包括 0 和 1）。參見 Derman & Miller (2006) 中的 SABR 章節。但據我所知， $ \beta $ 在原始論文中不受限制，因此理論上它可以取任何非負值，並且定價公式應該成立。
2. 放 $ \epsilon=1 $ 見方程 A.67！
3. 隱含的正常波動率是當您使用 Bachellier 定價公式時將產生期權價格的波動率水平。見方程 A.54a。

現在是你文章的最後一部分：

不要將資產的分佈與隱含的波動率混淆。什麼時候 $ \beta=0 $ 那麼資產是隨機正態的，以波動過程為條件。

“…如果要應用對數正態隱含 vol 公式，但使用 $ \beta=0 $ 然後它會變成隨機正常嗎？”

一旦再次，這兩件事彼此無關！隱含對數正態波動率只是我們使用的一個片語，因為它與 Black-Scholes/Blacks 模型相關，其中資產是 GBM，因此是對數正態的。所以是的，隱含對數正態波動率的公式也適用於 $ \beta=0 $

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/46741