SABR PDE 點/前上邊界條件實現
執行我的有限差分程式碼時，我觀察到一些奇怪的事情。
雖然實現了經典（非還原）SABR 模型，但我初始化了變數，使其應等於 Black-Scholes。
邊界條件
- 價格下限
- 波動率下限
- 波動率上限
是狄利克雷式的（只是設置等於一個值）。
對於遠期價格的上限 ( $ F $ ），我想設置諾伊曼條件 $ \Gamma=0 $ ，因為我相信對於大標價的所有（看跌期權和看漲期權）期權都是如此。這種情況產生：
$ \dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}(\dfrac{\partial x}{\partial F})^2+\dfrac{\partial V}{\partial x}\dfrac{\partial^2 x}{\partial F^2}=\Gamma=0 $
請注意，額外的條款與 $ x $ 和 $ F $ 是由於我的變數轉換從 $ F $ 至 $ x $ .
6 月 19 日編輯： @Yian_Pap 我同意，讓我們忘記平滑條件，專注於讓 Neumann 條件正常工作。讓我具體說明一下我應用您的方法的步驟:) 這就是我目前實現它的方式，但我再次對 FD 不太熟悉（這是我的第一個案例）：
- 首先，我並不清楚從什麼 PDE 開始（定價方程？或者只是 $ \Gamma=0 $ 方程？）。如果我們從 $ \Gamma=0 $ ，我們為什麼要擔心交叉導數項是否為 0？
- 如果我從 $ \Gamma=0 $ ，在 F 中沒有變換，則
$ \dfrac{\partial^2 V}{\partial F^2} = 0 $
使用二階中心 FD 近似離散化，
$ \dfrac{1}{\Delta F^2} (V_{N-1,j} - 2V_{N,j} + V_{N+1,j}) = 0 $ ,
$ V_{N,j}=\dfrac{1}{2}(V_{N-1,j}+V_{N+1,j}) $ (1),
其中包含外部網格點 $ V_{N+1,j} $ ，我假設你的意思是你的答案？
然後，據我了解，您對一階導數的評論 $ F \to \infty $ 已知且恆定，您的意思是看漲期權（看跌期權）的增量為 1 (0)？
$ \dfrac{\partial V}{\partial F} = \Delta = 1 $ ,
$ V_{N,j} = \Delta F + V_{N-1,j} $ ,
用這個來代替 $ V_{N+1,j} $ 在 (1) 中，
$ V_{N,j} = \Delta F + V_{N-1,j} $ ,
和 $ \Delta F $ F中的步長。然後我可以將其合併到係數矩陣中，如下所示。（附帶問題：為什麼不使用 $ \Delta=1 $ 直接條件？）
說我有隱式方案 $ V_{i,j,k} = z_1V_{i-1,j,k+1} + z_2V_{i,j,k+1} + z_3V_{i+1,j,k+1} $ . 然後對於一些 i （即在矩陣中的某些地方） $ V_{i+1,j} $ 是一個界限，因此設置了矩陣條目 $ 0 $ . 通過添加合併綁定 $ z_3 $ 至 $ z_2 $ 在矩陣中的每個地方 $ i=N-1 $ . 另外添加 $ z_3\Delta F $ . 數學上，
$ V_{N-1,j,k} = z_1V_{N-2,j,k+1} + (z_2+z_3)V_{N-1,j,k+1} + z_3\Delta F $ .
這是否是對應該如何實現上限 F 諾依曼條件的正確理解？
無論您的離散 PDE 引用在哪裡 $ V_{N,j,k+1} $ ，您將使用您的表達式 $ V_{N,j,k+1} $ 按照 $ V_{N−1,j,k+1} $ 和 $ V_{N−2,j,k+1} $ 消除 $ V_{N,j,k+1} $ 從離散方程。這意味著您將解決的代數係統將不涉及任何 $ V_{N,j,k+1} $ 直接值（所以沒有 $ C_{k+1} $ F 離散化的貢獻）。相反，您將增加系統係數 $ V_{N−1,j,k+1} $ 和 $ V_{N−2,j,k+1} $ 相應地點。
編輯 6 月 18 日。好的，讓我們重新開始，假設您在正向 F 中使用定價 PDE（無轉換）。如果您使用平滑條件，則需要使用單邊有限差分近似，以便您可以在最後一行關閉代數係統 $ F=F_{max} $ . 也就是說，您選擇這種（平滑）條件的原因是因為當您嘗試使用 Neumann 時，您沒有得到正確的結果。但這很可能是因為您在某處犯了錯誤。對於網格的最後一行點，我會再次嘗試如下：F 中的一階導數（我們稱之為 $ D_{F\to\infty} $ ) 你已經知道了（你從 Neumann 條件中知道它的值），所以這不需要在邊界上離散化，你只需使用它的已知值。交叉導數在那裡也變為零，因為 F 方向上的一階導數是恆定的（即使在一般情況下 $ \nu $ 不為零）。您需要離散化的 F 方向上的唯一導數是二階導數，它將引用網格外的一個點（使用標準的二階中心 FD 近似）。離散方程中的這個“虛構”點將被其外推值替換為 $ V_{N+1,j,k+1} = V_{N,j,k+1} + D_{F\to\infty} d_F $ . 這將再次關閉您的系統，您就可以開始了。嘗試讓我知道是否仍有不清楚的地方。