顯示一個和r_一個和r噸Ae^{rt}是 Black-Scholes 方程的解。為什麼會這樣？
以下內容摘自 Mark Joshi 的《數學金融的概念與實踐》，第二版，練習 $ 5.6 $ .
問題：證明 $ Ae^{rt} $ 是 Black-Scholes 方程的解。為什麼會這樣？
回想一下 Black-Scholes 方程是 $$ \frac{\partial V}{\partial t} + rS\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} S^2\sigma^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = rV $$ 在哪裡 $ V=V(t,S_t) $ 是歐式看漲或看跌期權價值， $ r $ 是無風險利率和 $ \sigma $ 是波動性。
可以很容易地驗證 $ Ae^{rt} $ 滿足上面的等式。就為什麼會這樣的解釋而言，我想我們需要炮製一個歐式期權，其收益是 $ Ae^{rt} $ 為它辯護。
自從 $ S_t $ 遵循關於風險中性機率測度的幾何布朗運動，所以 $$ S_t = S_0 e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t}. $$ 我認為在這種情況下，我們採取 $ \sigma = 0 $ 得到那個 $$ S_t = S_0 e^{r t}. $$ 所以 $ A=S_0. $
所以， $ V(t,S_t)=S_0 e^{rt} = S_t $ 是零執行價格的歐式看漲期權。這證明了為什麼 $ Ae^{rt} $ 滿足布萊克-斯科爾斯方程。這是對的嗎？
雖然您的方法是正確的，但通常人們會做的是找到方程的導數，例如 $ V(t,S_t)=Ae^{rt} $ . $$ \begin{eqnarray} &\frac{dV}{dt}=rA e^{rt}\ &\frac{dV}{dS}=0 \ &\frac{d^2V}{dS^2}=0 \end{eqnarray} $$ 然後將上面的導數代入 Black-Scholes 方程的左側。然後你會得到 $ rAe^{rt}=rV $ 這等於你的布萊克-斯科爾斯方程的右手邊。所以， $ V(t,S_t)=Ae^{rt} $ 是布萊克斯科爾斯方程的解！