期權溢價的簡單模型（用於模擬看漲期權）？
給定股票每週價格和價格變化的歷史分佈，我如何估計接近平價 (ATM) 期權的期權溢價，比如未來 3 個月的到期日？如果需要，我們還可以獲取股票的歷史貝塔係數和目前期權溢價。為簡單起見，假設股票的波動性是恆定的。
我正在為 Excel 中的朋友編寫一個小蒙地卡羅模擬程序，並想模擬一種編寫 ATM 覆蓋呼叫的策略，如果 OTM 和重寫則讓選項過期。如果看漲期權是 ITM，我將假設在期權期結束時行使。
我以前從未對選項建模，所以這個問題的另一個標題可能是“選項建模 101”。對於初學者，我只想改進我目前的模型，即恆定保費。謝謝！
該期權溢價的主要組成部分是（前瞻性）波動性 $ \sigma $ . 可用於 ATM 期權的最簡單公式是 Bachelier 模型
$$ \begin{equation} \text{Call}_T = \sigma S \sqrt{\frac{T}{2\pi}} \end{equation} $$ 到期時間在哪裡 $ T $ 和 $ S $ 是目前的基礎價格。嚴格來說，這個公式是“錯誤的”，但只有一個因素 $ \sigma^3T^{\frac32} $ 在你的情況下，這將是 5% 左右。由於非零利率，您還將忽略一個較小的錯誤。 獲得 $ \sigma $ 您可以使用可用的歷史數據來獲得歷史波動率。歷史波動率並不總是最好的選擇，但它比您目前的恆定價格假設要好得多，而且計算起來非常簡單：
$$ \begin{equation} \sigma_{\text{Hist}} = \sqrt{\frac1{N-1}\sum_{i=1}^N{(r_i-\bar{r})^2}} \end{equation} $$ 在哪裡 $ r_i $ 是定期回報
$$ \begin{equation} r_i = \frac{\frac{S_{i+1}}{S_i}-1}{\Delta t_i} \end{equation} $$ 採取底層 $ S_i $ 有時 $ t_i $ , $ \Delta t_i=(t_{i+1}-t_i) $ 和 $ \bar{r} $ 是他們的意思。（Black-Scholes 模型會使用對數回報。）
如果您對粗略的估計感到滿意，您可以假設 $ \bar{r} $ 是零，而不是費心計算它。對於歷史波動率的非常粗略的估計，您可以改為使用
$$ \begin{equation} \sigma_\text{Inaccurate} = \text{Mean}\left[|r_i|\right] \frac1{\sqrt{\text{Mean}\left[\Delta t_i\right]}} \end{equation} $$ 為了獲得最大的準確性，您當然希望使用 Black-Scholes 模型。但坦率地說，與找到前瞻性（隱含）布萊克-斯科爾斯波動率的歷史時間序列相比，您會更容易找到必要的歷史期權價格。