美國永續看跌期權的解決方案
我一直在嘗試一個練習，我必須確定美式永續看跌期權的價值， $ P $ 在資產價值方面 $ S $ . 練習的解決方案說：
什麼時候 $ S>S_f $ （最佳運動邊界）P 將滿足
$ \frac{1}{2}{\sigma}^2 S^2 \frac{\partial^2 P}{\partial S^2}-rP+rS\frac{\partial P}{\partial S}=0 $ （標準 BS pde）
在哪裡 $ r $ 是無風險利率和 $ \sigma $ 是波動率 $ S $
我理解那部分，但後來它說假設形式的解決方案 $ P=S^{\lambda} $ 在哪裡 $ \lambda $ 是一個實數。
誰能解釋這個假設背後的想法？
為了詳細說明@Alex 提供的解釋，原因是因為當我們查看 PDE 時，我們注意到 $ S $ 術語與 $ \dfrac{\partial}{\partial S} $ ， IE $ S\dfrac{\partial}{\partial S} $ 和 $ S^2\dfrac{\partial^2}{\partial S^2} $ . 這說明了什麼，如果我們要嘗試一個多項式函式 $ S $ 然後在應用這些運算符之後，然後是的指數 $ S $ 不會改變，即 $ S\dfrac{\partial S^n}{\partial S} \to nS^n $ 同樣地 $ S^2\dfrac{\partial^2 S^n}{\partial S^2} \to n(n-1)S^n $ . 這意味著在 PDE 中嘗試這個 ansatz 之後，它將取消只留下一個多項式方程 $ n $ ，如果我們可以證明有解決方案，則證明初始 ansatz 是正確的。
這背後的總體原因是，嘗試解決 PDE 通常是乏味的，因此始終尋找特定於問題的捷徑。解決 PDE 問題的一個好構想是，通常解決實際的 PDE 相對容易，相對困難的是應用邊界條件！因此，無論何時求解 PDE，我們都應該牢記邊界條件是如何表示的？如果它們是多項式函式 $ S $ 那麼我們應該嘗試一個多項式函式作為我們的 ansatz。如果我們有一個波浪邊界條件，那麼嘗試一個波浪 ansatz 等。
例如
以下
$$ \dfrac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial S^2}-rP+r\frac{\partial P}{\partial S}=0 $$ 通常會激發解決方案 $ P = \exp(\mu S) $ 然後我們將解決 $ \mu $ . 線上性代數的大多數課程中可以找到更一般的理由，我建議您查看 Sturm-Liouville 問題的範例。但一般的推理是將基礎更改為易於解決的基礎，例如，我們可以根據以下方式解決您的原始 PDE $ \sin(S) $ 和 $ \cos(S) $ ，或勒讓德多項式，貝塞爾函式等，但解決方案不會那麼整潔。但是你只能通過借鑒經驗來學習嘗試哪種方法，即使經過多年的經驗和聰明的理由，它也經常會訴諸試驗和錯誤。
我希望這有幫助。