我們可以使用蒙特卡羅模擬進行期權定價的理論原因
為期權定價的經典方法是根據終端和邊界條件對關聯的 PDE 進行分析或數值求解。另一種方法是使用蒙特卡羅模擬，它基本上需要模擬多次假設的標的的 SDE，然後評估預期的貼現收益。
我想了解期權價值是其預期折現收益的理論原因。
最簡單的解釋是費曼-卡克定理
https://en.wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula
Blackscholes 是拋物線偏微分方程
解決方案可以寫成積分項上的條件期望。條件期望意味著您需要使用一些導致蒙特卡羅的分佈來模擬它
為了補充Animesh Saxena 的答案，我認為值得一提的是，我認為這個問題是相反的。
為期權定價的經典方法是根據終端和邊界條件對關聯的 PDE 進行分析或數值求解。另一種方法是使用蒙特卡羅模擬。
用“我期望它返回的金額”來回答“這個契約期權價值多少”似乎更自然，而且這是用今天的錢來衡量的。所以我們很自然地立即得到 $$ \text{Value} = \text{Discount} \times \text{Expected payout}, $$ 這轉化為 $$ V(t,S_t) = \mathbb{E}\left(\exp\left(-\int_t^T r_s \mathrm{d}s\right) P(S_T) ,\middle|, \mathcal{F}_t\right). $$
事實上，將這個答案轉換為 PDE 需要一些額外的假設，例如無摩擦交易、對沖的持續可用性等。實際上，價值的期望形式是自然表示，並且在理論上很容易證明是正確的。當然，蒙地卡羅隨時可以估計這一點。
PDE 公式是試圖減少包含此類期權的投資組合價值可變性的副產品。如果允許連續交易，那麼風險可以通過 $ \Delta $ -對沖為零。如果連續交易不是這種情況，那麼您實際上會根據 HJB 方程製定對沖策略，這是一個控制理論問題。碰巧找到這種策略涉及求解期權價值的偏微分方程。
雖然 Feynman-Kac 通常允許您在 PDE 和值的期望形式之間互換，但應該始終可以表示為如上所述的期望。我不認為我們總是可以用 PDE 解決方案來寫價值。我認為當你轉向更有趣的 SDE 時，這變得更加適用，尤其是當你開始搞亂利率並給出隨機過程時。