與時間無關的局部波動
假設有人向我們提供了歐洲呼叫價格的表面 $ C(\tau,K) $ 在哪裡 $ \tau $ 代表到期時間和 $ K $ 為罷工。根據 Dupire 的結果，有一個獨特的局部波動函式 $ \sigma(\tau,K) $ 產生這些價格，並且可以從它們表示為
$$ \sigma(\tau,K) = \frac{2C_\tau}{K^2C_{KK}}, $$ 在這里為簡單起見，我假設利率為零。現在，如果我們有 $ C(T,K) $ 單一期限 $ \tau = T $ , 是否存在唯一的與時間無關的局部波動率 $ \sigma(K) $ 在那個到期日產生這個價格？如果確實如此，該函式是否有解析公式？
是的，有一個獨特的時間同質本地捲模型。這在http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304414912002487中得到了證明。需要稍微概括一下，如果期權隱含的密度在某處為零，則相應的局部 vol 在該區域中是無限的，從而給出“間隙擴散”。
不，在這種情況下，本地 vol 沒有很好的公式。
不。
實際上，局部波動率模型具有有限數量的切片，因此單個切片也可以。現在的問題是：如何計算時間導數？好吧，無需添加任何您知道的資訊
$$ C(0,K) = (S_0-K)+ $$ 所以你可以試試 $$ C\tau = \frac{C(\tau,K)-C(0,K)}{\tau} $$ 但這是一個非常粗略的近似值。您可能想要做的是首先使用 Dupire 公式 wrt 隱含波動率並考慮整個表面平坦並且等於您切片，因此採取 $ \Sigma_\tau=0 $ . 等效於使用公式 wrt 總隱含變異數 $ w(\tau,K):=\Sigma^2(\tau,K)\tau $ 併計算如上的導數： $$ \lim_{\tau \rightarrow 0_+} w(\tau,K) = 0 $$ $$ w_\tau(\tau,K) \eqsim \frac{w(\tau,K)-w(0_+,K)}{\tau} = \Sigma^2(\tau,K) $$ 這是總變異數的公式（一個很好的參考是 Gatheral 的The Volatility Surface: A Practitioner’s Guide）：
$$ \sigma^2(\tau,K) = \frac{w_\tau(K)}{\displaystyle1-\frac{y}{w(\tau,K)}w_y(\tau,K)+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{w(\tau,K)}+\frac{y^2}{w^2(\tau,K)}\right)(w_y(\tau,K))^2+\frac{1}{2}w_{yy}(\tau,K)} $$ 在哪裡 $ y=\ln(K/S_O) $ 和 $ w_\tau(K)=\Sigma(K)^2 $ . 你在這裡看到分母仍然取決於 $ \tau $ 通過 $ w $ . 沒有辦法解決這個問題。 普通價格方法將得出相同的結論，因為必須使用 Black-Scholes 計算等效時間導數 $ \theta $ 希臘（到期時間的衍生品）與所考慮行權時的隱含波動率。即使沒有漂移，Black-Scholes theta 也取決於成熟時間。
此外，隱含波動率表面產生的局部波動率顯然是唯一的（滿足 Dupire 方程）。