跟踪錯誤布萊克斯科爾斯
假設資產遵循 SDE
$$ d S_{t}^{1} = \mu S_{t}^{1} dt + \sigma_{t} S_{t}^{1} d W_{t} $$ 此外假設 $ r = 0 $ 以及使用 Black-Scholes 進行定價和對沖波動性的交易員 $ \sigma^* $ 對於有償的終值索賠 $ h(S_T) $ . 然後給出 BS 下的索賠價格作為 PDE 的解 $$ h_t^BS(t,S) + \frac{1}{2} (\sigma^*)^2 S^2 h_{SS}^{BS}(t,S_t^1) = 0 $$ 和 $ h_t^BS(t,S) = h(S) $ .
然後他的對沖的跟踪誤差由下式給出
$$ e_T = h(S_t) - V_T $$ 可以證明，在這種情況下，它等於
$$ e_T = \frac{1}{2} \int_0^T ( S_{t}^{1})^2 (\sigma_t^2 - \sigma^*) h_{SS}^{BS}(t,S_t^1) dt $$ 現在假設交易者賣出一個普通的看漲期權並複制這個期權，股票頭寸等於看漲期權的增量。因此，在這個時間點 $ t $ 他是 delta 中性的。
現在假設真正的波動率 $ \sigma_t^2 $ 大於波動性 $ \sigma^* $ 他用於複製。根據公式 $ (\sigma_t^2 - \sigma^*) > 0 $ 並且該位置的伽瑪是
$$ h_{SS}^{BS}(t,S_t^1) > 0 $$ 因此，$$ e_T > 0 $$交易者虧損。 從直覺的角度來看，這對我來說很清楚——交易者做空了一個具有凸收益的看漲期權——因為 $ S_t $ 該期權將獲得比該對沖投資組合更多的價值，並且由於他做空該期權，因此他將蒙受損失。但是，我不清楚為什麼
$$ h_{SS}^{BS}(t,S_t^1) > 0 $$- 看漲期權有一個正伽瑪值，因為它再次有一個凸收益，但他是 $ \textbf{short} $ 據我所知，該選項因此伽瑪將是負數。
好的，在再次經歷之後 $ h_{SS}^{BS}(t,S_{t}^{1}) $ 在這裡代表期權的 Gamma，與交易者持有的頭寸無關。由於收益是凸的，伽瑪是正的。
交叉檢查的快速範例：
直覺的方法：當交易者買入看漲期權並對其進行對沖時，他將從更高的波動性中獲利，然後用於定價。
使用公式的方法：如果他買了一個看漲期權並複制它，那麼他會獲利嗎？ $ e_T > 0 $ 因為這意味著 $ h(S_T) > V(T) $ . 這意味著 $ \sigma_t^2 > \sigma^* $ 跟踪誤差的公式再次產生了積極的結果，因為 $ h_{SS}^{BS}(t,S_{t}^{1}) > 0 $ .
在跟踪誤差公式中，您應該考慮的不是 Black-Scholes 的二階導數，而是投資組合的 gamma：由您的（正或負）頭寸加權的期權的（正）gamma 之和。如果您做空期權，當波動率高於隱含時，您的 gamma 為負，跟踪誤差為負（損失）。順便說一句，這個公式被 El Karoui（1998 年）稱為 Black-Scholes 的穩健性，被 Poulsen（2015 年）稱為衍生品交易基本定理。Dupire 在 1990 年代中期利用它發現了許多有趣的結果，正如我在上個月在里約熱內盧慶祝他 60 歲生日時總結的那樣。該影片可在 YouTube 上找到： https ://www.youtube.com/watch?v=-YiAMxjOKHg