了解平均值的期望值
我一直在研究亞洲期權的定價。該過程的一部分是關於尋找經歷例如幾何布朗運動的時間序列的平均值的期望值。
我偶然發現了這篇論文：通過 Edgeworth 系列擴展方法對算術亞洲期權進行定價和對沖。
在附錄中，他們聲稱要計算一段時間內平均值的期望值，見下面的截圖：
我發現這很成問題，因為這個值似乎必然在初始值之前，即使假設基礎資產的漂移為 0。說平均值必須有更大的預期似乎不直覺值大於初始值。
此外，這個值與我在模擬多達 10,000,000 條價格路徑時得到的預期值不匹配，但更令人擔憂的是，隨機模擬的結果仍然高於初始價格。
我用以下參數進行了測試。到期時間：0.25 年。初始價格：1000。基礎年化波動率：0.7。基礎漂移：0
有人會碰巧知道這裡發生了什麼嗎？謝謝。
數學檢查，仔細進行的模擬研究將遵循結果：
為了 $ S_t $ 遵循具有恆定參數的幾何布朗運動 $ \mu,\sigma $ ，我們知道$$ E(S_T|S_t)=S_te^{(\mu+0.5\sigma^2)(T-t)} $$
在這種情況下，風險中性漂移 $ \mu_{\mathbb{Q}}=r-\frac{1}{2}\sigma^2 $ ，因此風險中性預期為 $ S_t $ 在未來的任何時間（簡單地）成為它的遠期水平：
$$ Y(T)\equiv E_\mathbb{Q}(S_T|S_t)=S_te^{(\mu_{\mathbb{Q}}+\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}=S_te^{r(T-t)} $$
現在整合 $ Y(s) $ 關於 $ s $ 清楚地產生規定的結果，
$$ \begin{align} \frac{1}{T-t}\int_{s=t}^T Y(s)ds&=\frac{1}{T-t}\int_{s=t}^T E_\mathbb{Q}(S_s|S_t)ds\ &=\frac{S_t}{T-t}e^{-rt}\int_{s=t}^T e^{rs}ds\ &=\frac{S_t}{T-t}e^{-rt}\left[\frac{e^{rs}}{r}\right]_t^T\ &=\frac{S_t}{T-t}e^{-rt}\left(\frac{e^{rT}}{r}-\frac{e^{rt}}{r}\right)\ &=\frac{S_t}{T-t}\left(\frac{e^{r(T-t)}-1}{r}\right)\ &=S_t\frac{e^{r(T-t)}-1}{r(T-t)} \end{align} $$
請注意，對於 $ x>0 $ ， 我們有 $ \frac{e^x-1}{x}>1 $ . 因此，期望明顯大於 $ S_t $ . 另外，如果 $ r=0 $ ，期望變為 $ S_t $ 正如預期的那樣。
HTH？