Cox-Ross-Rubinstein 模型的估值
我們有一個帶有參數的 Cox-Ross-Rubinstein 模型 $ u $ （“向上”）， $ d $ （“向下”） ， $ r $ （利率）和 $ q $ （等效鞅機率） $ (q=(1+r-d)(u-d)^{-1}) $ . 我們有一個有償的或有債權
$$ X=S_1(N)^c $$ 在哪裡 $ S_1(N) $ 是最終價格，並且 $ c $ 是一個正整數。我需要證明索賠的初始估值是： $$ \pi_X(0) = S_1(0)^c(1+r)^{-N}\left(u^cq+d^c(1-q)\right)^N $$ 我知道
$$ \begin{align} \pi_X(0) & = E_Q[\frac{X}{S_0(N)}] \ & = (1+ r)^{-N}E_Q[S_1(N)^c] \ & = (1+ r)^{-N} \sum_{j=0}^N(S_1(0)u^jd^{N-j})^c{N \choose k}q^j(1-q)^{N-j} \end{align} $$ 然後 $ S_1(0) $ 可以取出來，這給了我第一部分，但是我不確定如何進行。我看不到“T 選擇 k”位將如何消失，或者我們如何擺脫求和符號。
你的期望值有一個錯誤，我已經糾正了 - 機率和二項式係數（“N 選擇 k”）不應該提高到冪 $ c $ . 有了這個更正，它是二項式定理的簡單應用：
$$ \begin{eqnarray} \left(u^cq+d^c(1−q)\right)^N&=&\sum_{j=0}^N {N \choose j}(u^cq)^{j}(d^c(1−q))^{N-j}\ &=&\sum_{j=0}^N {N \choose j} \left(u^j d^{N-j}\right)^c q^j (1-q)^{N-j} \end{eqnarray} $$