當波動率趨於無窮時看漲期權的價值
為什麼隨著波動性趨於無窮大，看漲期權的價值會趨於無窮？
我了解您如何通過以下方式解決這個問題 $ \sigma \rightarrow \infty $ 在布萊克斯科爾斯方程的解中。但是，我無法在更啟發式的層面上理解這一點。當然，隨著波動性達到無窮大，您也有更大的機會完成期權（並且可能在很長一段時間內）？
股票價格可能會大幅下跌，波動性很大，但如果您購買了期權，您只能損失期權的價格。因此，上行空間變大，但下行空間有限。
當波動率趨於無窮時，看漲期權的價值不會趨於無窮。它傾向於遠期的貼現值 $ F=S_0 e^{(r-q)T} $ ，當股息收益率為零時，對應於股票價格的目前價值 $ S_0 $ .
讓我解釋一下為什麼。看漲期權的價值隨著波動性而增加，因為如果股票波動性更大，期權的上行空間更大 - 下行空間總是以零為底，因此這不會改變。在波動趨於無窮大的限度內，看漲期權的價值趨向於股價。這一點從無套利的考慮中已經很清楚了——你永遠不會為看漲期權支付超過股票價格的貼現遠期價格。
我們可以從看漲期權的 Black-Scholes 解中看出這一點。這是由以下給出的： $$ \begin{equation} C(S_0,T)= S_0 e^{-qT} N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) \end{equation} $$ 在哪裡 $$ \begin{equation} d_1= \frac{1}{\sigma \sqrt{T}} \left[\ln{\left(\frac{S_0}{K}\right)} + \left(r -q + \frac{\sigma^2}{2} \right) T \right] \end{equation} $$ 和 $$ \begin{equation} d_2= \frac{1}{\sigma \sqrt{T}} \left[\ln{\left(\frac{S_0}{K}\right)} + \left(r - q - \frac{\sigma^2}{2} \right) T \right] \end{equation} $$ 什麼時候 $ \sigma \rightarrow \infty $ 我們有 $ d_1 \rightarrow \infty $ 和 $ d_2 \rightarrow -\infty $ . 因此作為 $ N(x) \rightarrow 1 $ 和 $ N(-x) \rightarrow 0 $ 作為 $ x \rightarrow \infty $ ， 我們有 $$ \begin{equation} C(S_0,T) \rightarrow S_0 e^{-qT} \end{equation} $$ 理解為什麼會這樣還不是很清楚。它依賴於我們意識到 $ \sigma \rightarrow \infty $ , 的機率分佈 $ S_T $ 沿著整體展開 $ S_T>0 $ 支持，但具有顯著的機率質量積累 $ S_T=0 $ .
然而，無套利條件需要預期 $ S_T $ 有時 $ T $ 必須等於遠期價格，使得 $$ \begin{equation} \int_0^{\infty} S_T g(S_T) dS_T = S_0 e^{(r-q)T} \end{equation} $$ 在哪裡 $ g(S_T) $ 是終端股票價格的機率密度函式 $ S_T $ .
在 Black-Scholes 公式中，第一項實際上是價內股票價格的貼現期望值 $$ \begin{equation} e^{-rT} \int_K^{\infty} S_T g(S_T) dS_T = S_0 e^{-qT} - e^{-rT} \int_0^{K} S_T g(S_T) dS_T. \end{equation} $$
作為 $ \sigma \rightarrow \infty $ ，分佈變得如此模糊，以至於積分 $ S_T $ 從 $ 0 $ 至 $ K $ 可以忽略不計（唯一重要的機率質量在 $ S_T=0 $ 沒有貢獻）與積分相比 $ K $ 至 $ \infty $ . 因此，與第一項相比，右側的第二項可以忽略不計，因此 $$ \begin{equation} e^{-rT} \int_K^{\infty} S_T g(S_T) dS_T \rightarrow S_0 e^{-qT} \end{equation} $$ 和 $$ \begin{equation} \lim_{\sigma \rightarrow \infty} C(S_0,T) \rightarrow S_0 e^{-qT}. \end{equation} $$ 我們還可以證明看跌期權價格收斂於折現行使價。 $$ \begin{equation} \lim_{\sigma \rightarrow \infty} P(S_0,T) \rightarrow K e^{-rT}. \end{equation} $$