點差期權的點差變異數

我正在閱讀這篇論文： https ://people.umass.edu/nkapadia/docs/Negative_Vega.pdf

在等式中 $ (5) $ ，他將價差的變異數定義為：

$$ \sigma_1^2S_1^2 + \sigma_2^2S_2^2 - 2\sigma_1 \sigma_2 S_1 S_2 \rho $$

而我一直認為它定義為：

$$ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\sigma_1\sigma_2\rho $$

這是針對 2 個相關的 GBM，點差為 $ S_1 - S_2 $ .

我錯過了什麼？

我認為價差瞬時變化的變異數是指：

$ V \left[ dX \right]=V \left[ dS_1-dS_2 \right] $

個體差異（在條件和局部意義上）是：

$ V \left[ dS_1 \right]= \sigma_1^2 S_1^2dt $

$ V \left[ dS_2 \right]= \sigma_2^2 S_2^2dt $

並且共變異數項是，假設兩個布朗人是相關的：

$ C\left[ dS_1 , dS_2\right]=\rho \sigma_1 \sigma_2 S_1 S_2dt $

現在，如果將這些代入您的公式，您將得到等式 5。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/49645