使用選項進行變異數複製
我想了解以下問題背後的直覺：
為什麼看跌期權和看漲期權價格的某個加權和等於底層證券的隱含變異數？
變異數掉期是用一個靜態的看漲和看跌籃子複製的（我知道這複製了隱含的變異數），它們是 delta 對沖的（這複製了已實現的變異數），但我發現困難的是背後的直覺。
讓 $ t_0, t_1, \ldots, t_n $ 是觀察日期，其中 $ 0=t_0 < \cdots < t_n = T $ ， 和 $ {S_t \mid t \geq 0} $ 是沒有股息支付的股票價格過程。然後實現的變異數定義為
$$ \begin{align*} \frac{252}{n}\sum_{i=1}^n \ln^2 \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}}. \end{align*} $$ 請注意，對於足夠小的 $ x $ , $$ \begin{align*} \ln (1+x) \approx x - \frac{1}{2}x^2. \end{align*} $$ 而且， $$ \begin{align*} \ln^2 (1+x) &\approx x^2\ &\approx 2x - 2 \ln(1+x). \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} \sum_{i=1}^n \ln^2 \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}} &\approx 2\sum_{i=1}^n \frac{S_{t_{i}}-S_{t_{i-1}}}{S_{t_{i-1}}}-2\ln\frac{S_T}{S_0}. \end{align*} $$ 假設短期利率 $ r_t $ 是確定性的， $$ \begin{align*} E\bigg(\sum_{i=1}^n \ln^2 \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}}\bigg) &\approx 2\sum_{i=1}^n E\Bigg(E\bigg(\frac{S_{t_{i}}-S_{t_{i-1}}}{S_{t_{i-1}}}\mid S_{t_{i-1}}\bigg)\Bigg)-2E\bigg(\ln\frac{S_T}{S_0}\bigg)\ &= 2\sum_{i=1}^n E\Bigg(\frac{S_{t_{i-1}}e^{\int_{t_{i-1}}^{t_i}r_s ds}-S_{t_{i-1}}}{S_{t_{i-1}}}\Bigg)-2E\bigg(\ln\frac{S_T}{S_0}\bigg)\ &= 2\sum_{i=1}^n \Big(e^{\int_{t_{i-1}}^{t_i}r_s ds} -1\Big)-2E\bigg(\ln\frac{S_T}{S_0}\bigg)\ &\approx 2\sum_{i=1}^n \int_{t_{i-1}}^{t_i}r_s ds - 2E\bigg(\ln\frac{S_T}{S_0}\bigg)\ &= 2\int_0^T r_s ds - 2E\bigg(\ln\frac{S_T}{S_0}\bigg)\ &= 2\ln \Big(S_0 e^{\int_0^T r_s ds} \Big) - 2 \ln S_0 - 2E\bigg(\ln\frac{S_T}{S_0}\bigg)\ &= -2E\bigg(\ln\frac{S_T}{E(S_T)} \bigg). \end{align*} $$ 請注意，對於任何平滑函式 $ f $ , $ a>0 $ ， 和 $ x>0 $ , $$ \begin{align*} f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + \int_a^{\infty}(x-k)^+ f’’(k)dk + \int_0^a (k-x)^+f’’(k)dk. \end{align*} $$ 另請參閱如何對支付股票價格倒數的衍生工具進行套期保值？. 考慮函式 $ f(x)=\ln x $ 和 $ x=S_T $ 和 $ a = E(S_T) $ . 我們有那個
$$ \begin{align*} \ln S_T = \ln E(S_T) + \frac{S_T - E(S_T)}{E(S_T)} - \int_{E(S_T)}^{\infty} \frac{(S_T-k)^+}{k^2} dk - \int_0^{E(S_T)} \frac{(k-S_T)^+}{k^2} dk. \end{align*} $$ 所以， $$ \begin{align*} E\bigg(\sum_{i=1}^n \ln^2 \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}}\bigg) &\approx -2E\bigg(\ln\frac{S_T}{E(S_T)} \bigg)\ &=2E\bigg[\int_{E(S_T)}^{\infty} \frac{(S_T-k)^+}{k^2} dk + \int_0^{E(S_T)} \frac{(k-S_T)^+}{k^2} dk\bigg], \end{align*} $$ 這是看跌期權和看漲期權價格的加權總和。 對於基本和直覺的解釋，我們考慮具有幾何布朗運動的 Black Scholes 設置。那是，
$$ \begin{align*} S_T &= S_0 \exp\big((r-\frac{1}{2}\sigma^2)T+\sigma W_T \big)\ &= E(S_T) \exp\big(-\frac{1}{2}\sigma^2T+\sigma W_T \big), \end{align*} $$ 在哪裡 $ {W_t\mid t\geq 0} $ 是標準布朗運動。然後，我們有變異數 $$ \begin{align*} \sigma^2 =\frac{2}{T}\Big(\sigma W_T -\ln \frac{S_T}{E(S_T)} \Big). \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} \sigma^2 = -\frac{2}{T}E\Big(\ln \frac{S_T}{E(S_T)}\Big), \end{align*} $$ 如上所述，可以通過看跌期權和看漲期權價格的加權和來近似。