Black-Scholes 公式有哪些有用的近似值？
讓 Black-Scholes 公式定義為函式 $ f(S, X, T, r, v) $ .
我很好奇計算上比 Black-Scholes 更簡單的函式，它產生的結果近似 $ f $ 對於給定的一組輸入 $ S, X, T, r, v $ .
我知道“計算上更簡單”的定義並不明確。但我的意思是在函式中使用的術語數量方面更簡單。或者更具體地說，需要完成以達到 Black-Scholes 輸出的不同計算步驟的數量。
顯然，Black-Scholes 在計算上很簡單，但我準備用一些準確性換取一個更簡單的函式，該函式會給出近似 B&S 的結果。
是否存在任何這樣更簡單的近似值？
這只是對vonjd 的回答進行一些擴展。
vonjd 提到的近似公式來自 Brenner 和 Subrahmanyam（“計算隱含標準偏差的簡單解決方案”，Financial Analysts Journal (1988)，pp. 80-83）。我沒有該論文的免費連結，所以讓我在這裡給出一個快速而骯髒的推導。
對於平價看漲期權，我們有 $ S=Ke^{-r(T-t)} $ . 將其代入標準 Black-Scholes 公式
$$ C(S,t)=N(d_1)S-N(d_2)Ke^{-r(T-t)}, $$ 我們明白了 $$ C(S,t)=\left[N\left(\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T-t}\right)-N\left(-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T-t}\right)\right]S.\qquad\qquad(1) $$ 現在，泰勒公式意味著小 $ x $ 那 $$ N(x)=N(0)+N’(0)x+N’’(0)\frac{x^2}{2}+O(x^3).\qquad\qquad\qquad\qquad(2) $$ 結合（1）和（2），我們將得到一些明顯的取消 $$ C(S,t)=S\left(N’(0)\sigma\sqrt{T-t}+O(\sigma^3\sqrt{(T-t)^3})\right). $$ 但 $$ N’(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}=0.39894228… $$ 所以最後我們有了，對於小 $ \sigma\sqrt{T-t} $ ， 那 $$ C(S,t)\approx 0.4S\sigma\sqrt{T-t}. $$ 修改後的公式 $$ C(S,t)\approx 0.4Se^{-r(T-t)}\sigma\sqrt{T-t} $$ 給出了一個稍微好一點的近似值。